Willmores hypotes

Willmore-förmodan är en nedre gräns för Willmore-energin hos en torus . Hypotesen är uppkallad efter den engelske matematikern Thomas Willmore , som formulerade den 1965 [1] . Beviset för gissningen tillkännagavs av Markish och Neves 2012 och publicerades 2014 [2] [3] .

Willmore Energy

Låt vara en mjuk nedsänkning av en kompakt orienterad yta . Låt ett mångfaldigt M och ett Riemannsk mått genererat av en nedsänkning ges . Låt vara medelkurvaturen ( aritmetiskt medelvärde av de huvudsakliga krökningarna κ 1 och κ 2 vid varje punkt). I denna notation ges Willmore-energin W ( M ) för grenröret M av ${\displaystyle v:M\to \mathbb {R} ^{3))$ $v$ $H:M\to \mathbb {R}$

W(M)=\int _{M}H^{2}\,dA.

Det är inte svårt att bevisa att Willmore-energin tillfredsställer ojämlikheten med jämlikhet om och bara om mångfalden M är en inbäddad sfär . $W(M)\geqslant 4\pi$

Uttalande

Beräkningen av värdet på W ( M ) för flera exempel tyder på att det måste finnas en bättre gräns än för ytor med släkte . I synnerhet beräkningen av W ( M ) för en torus med olika symmetri ledde Willmore 1965 till följande gissning, som nu bär hans namn $W(M)\geqslant 4\pi$ $g(M)>0$

För varje torus M som är smidigt nedsänkt i R 3 gäller ojämlikheten .

{\displaystyle W(M)\geqslant 2\pi ^{2))

1982 bevisade Peter Lee och Yau Xingtong gissningen i det icke-inbäddade fallet genom att visa att om är en nedsänkning av en kompakt yta som inte är en inbäddning, så är W ( M ) minst [4] . ${\displaystyle f:\Sigma \to S^{3))$ $8\pi$

2012 bevisade Fernando Koda Markish och André Neves gissningen i det kapslade fallet med Almgren-Pitts minimaxteorin om minimala ytor [2] [3] . Martin Schmidt gjorde anspråk på ett bevis 2002 [5] , men uppsatsen accepterades inte för publicering i någon referentgranskad matematisk tidskrift (även om tidningen inte innehöll ett bevis på Willmores gissningar, bevisade Schmidt några andra viktiga gissningar i tidningen). Innan beviset för Markish och Neves, hade Willmores gissningar redan bevisats för många speciella fall, såsom tubular torus (av Wilmore själv) och tori of revolution (av Langer och Singer) [6] .

Anteckningar

↑ Willmore, 1965 , sid. 493–496.
↑ 12 Morgan , 2012 .
↑ 1 2 Marques, Neves, 2014 , sid. 683–782.
↑ Li, Yau, 1982 , sid. 269-291.
↑ Schmidt, 2002 .
↑ Langer, Singer, 1984 , sid. 531–534.

Litteratur

Thomas J. Willmore. Anmärkning om inbäddade ytor // Analele Ştiinţifice ale Universităţii "Al. I. Cuza" din Iaşi, Secţiunea I a Matematică. - 1965. - T. 11B .
Peter Li, Shing Tung Yau. En ny konform invariant och dess tillämpningar på Willmore-förmodan och det första egenvärdet för kompakta ytor // Inventiones Mathematicae . - 1982. - T. 69 , nr. 2 . - doi : 10.1007/BF01399507 .
Frank Morgan. Matte hittar den bästa munken // The Huffington Post . — 2012.
Fernando C. Marques, André Neves. Min-max-teori och Willmore-förmodan // Annals of Mathematics . - 2014. - T. 179 . — S. 683–782 . - doi : 10.4007/annals.2014.179.2.6 . - arXiv : 1202.6036 .
Martin U Schmidt. Ett bevis på Willmores gissning. - 2002. - arXiv : math/0203224 .
Joel Langer, David Singer. Kurvor i det hyperboliska planet och medelkrökning av tori i 3-rum // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1984. - T. 16 , nr. 5 . — S. 531–534 . - doi : 10.1112/blms/16.5.531 .