Multivariat slumpvariabel

En multivariat slumpmässig variabel eller slumpvektor ( matematik , sannolikhet och statistik ) är en lista över matematiska variabler , vars värde är okänt, antingen för att värdet ännu inte har inträffat eller på grund av ofullständig kunskap om dess värde. Individuella variabler i en slumpmässig vektor grupperas tillsammans eftersom de är en del av ett enda matematiskt system - ofta representerar de olika egenskaper hos enskilda statistiska enheter. Låt till exempel en viss person ha en viss ålder, längd och vikt. Helheten av dessa egenskaper hos en slumpmässig person från gruppen kommer att vara en slumpmässig vektor. Vanligtvis är varje element i en slumpmässig vektor ett reellt tal .

Slumpmässiga vektorer används ofta som den underliggande implementeringen av olika typer av samlingar av slumpvariabler , såsom slumpmässiga matriser , slumpmässiga träd, slumpmässiga sekvenser, slumpmässiga processer , etc.

Mer formellt är en multivariat slumpvariabel en kolumnvektor ( eller dess transponerade matris , som är en radvektor), vars komponenter är skalära värden av slumpvariabler i samma sannolikhetsutrymme , där detta är utrymmet för elementära händelser , detta är en sigma-algebra (mängden av alla händelser), och det finns en mätsannolikhet (en funktion som returnerar sannolikheten för varje händelse ). ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T))$ $(\Omega ,{\mathcal {F)),P)$ $\Omega$ ${\mathcal {F}}$ $P$

Sannolikhetsfördelning

Varje slumpmässig vektor genererar ett sannolikhetsmått på Borel-algebra som ligger bakom sigma-algebra. Detta mått är också känt som den gemensamma sannolikhetsfördelningen, gemensam fördelning eller multivariat slumpmässig vektorfördelning. $\mathbb {R} ^{n}$

Fördelningen av var och en av komponenterna i stokastiska variabler kallas marginalfördelningar . Den villkorade sannolikhetsfördelningen som ges är sannolikhetsfördelningen när den är känd som ett visst värde. $X_{i}$ $X_{i}$ $X_{j}$ $X_{i}$ $X_{j}$

Operationer på slumpmässiga vektorer

Slumpmässiga vektorer kan utsättas för samma algebraiska operationer som med icke-slumpmässiga vektorer: addition, subtraktion, multiplikation med en skalär och punktprodukt .

På liknande sätt kan en ny slumpmässig vektor definieras genom att tillämpa en affin transformation på den slumpmässiga vektorn : $\mathbf {Y}$ ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $\mathbf {X}$

\mathbf {Y} ={\mathcal {A}}\mathbf {X} +b

, där är en matris och är en vektor som består av en kolumn

\mathcal{A}

n\ gånger n

b

n\ gånger 1

Om är reversibel och sannolikhetstätheten är , då sannolikhetstätheten $\mathcal{A}$ $\textstyle \mathbf {X}$ $f_{\mathbf {X} }$ $\mathbf {Y}$

f_{\mathbf {Y} }(y)={\frac {f_{\mathbf {X} }({\mathcal {A}}^{-1}(yb))}{|\det { \mathcal {A}}|}}}

Förväntning, kovarians och korskovarians

Den matematiska förväntan eller medelvärdet för en slumpmässig vektor är en fast vektor vars element är förväntade värden för motsvarande slumpvariabler. $\mathbf {X}$ $\operatörsnamn {E} [\mathbf {X} ]$

En kovariansmatris (även kallad en varians-kovariansmatris) är en slumpvektor vars matris är en matris av storlek där det ( i,j ) :te elementet är kovariansen mellan den i :te och j :te slumpvariabeln. Kovariansmatrisen är element-för-element-förväntningen för en matris av storlek som erhålls genom matrismultiplikation , där det upphöjda T hänvisar till transponeringen av den specificerade vektorn: $n gånger 1$ $n\ gånger n$ $n\ gånger n$ ${\displaystyle [\mathbf {X} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {X} ]][\mathbf {X} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {X} ]]^{T))$

\operatörsnamn {Var} [\mathbf {X} ]=\operatörsnamn {E} [(\mathbf {X} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\ operatornamn {E} [\mathbf {X} ])^{T}].

Utöver detta är och ( har element och har element ) en matris $\mathbf {X}$ $\mathbf {Y}$ $\mathbf {X}$ $n$ $\mathbf {Y}$ $sid$ $n\ gånger p$

\operatörsnamn {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatörsnamn {E} [(\mathbf {X} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {X} ])(\ mathbf {Y} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {Y} ])^{T}],

Där återigen den angivna matrisförväntningen tas steg för steg i matrisen. I den är elementet ( i,j ) kovariansen mellan matrisens i: te element och matrisens j :te element. Korskovariansmatrisen erhålls enkelt genom att transponera den erhållna . $\mathbf {X}$ $\mathbf {Y} .$ $\operatorname {Cov} [\mathbf {Y} ,\mathbf {X} ]$ $\operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$

Ytterligare egenskaper

Förväntan på en kvadratisk form

Ta förväntningen på en kvadratisk form i en slumpmässig vektor X enligt följande : s.170–171

\operatörsnamn {E} (X^{T}AX)=[\operatörsnamn {E} (X)]^{T}A[\operatörsnamn {E} (X)]+\operatörsnamn {tr} (AC ),

Där C är kovariansmatrisen för X och tr är spåret av matrisen, d.v.s. summan av elementen på dess huvuddiagonal (överst till vänster till höger). Eftersom den kvadratiska formen är en skalär är detta också dess matematiska förväntan.

Bevis : Låt vara en slumpmässig vektor av storlek c och och låt vara en icke-stokastisk matris av storlek $\mathbf {z}$ $m\ gånger 1$ $\operatörsnamn {E} [\mathbf {z} ]=\mu$ $\operatorname {Cov} [\mathbf {z} ]=V$ $A$ $m \ gånger m$

Sedan, baserat på den grundläggande formeln för kovarians, om vi betecknar och (där i det följande huvudtecknet betecknar transponering), ser vi: $\mathbf {z} '=\mathbf {X}$ $\mathbf {z} 'A'=\mathbf {Y}$ $'$

\operatörsnamn {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatörsnamn {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ']-\operatörsnamn {E} [\mathbf { X} ]\operatörsnamn {E} [\mathbf {Y} ]'

Följaktligen,

{\begin{aligned}E(XY')&=\operatörsnamn {Cov} (X,Y)+E(X)E(Y)'\\E(z'Az)&=\operatörsnamn {Cov } (z',z'A')+E(z')E(z'A')'\\&=\operatörsnamn {Cov} (z',z'A')+\mu '(\mu ' A')'\\&=\operatörsnamn {Cov} (z',z'A')+\mu 'A\mu ,\end{aligned}}

som för oss till

\operatörsnamn {Cov} (z',z'A')=\operatörsnamn {tr} (AV).

Detta är sant på grund av det faktum att när du spårar utan att ändra det slutliga resultatet kan du cykliskt ordna om matriserna (till exempel tr (AB) = tr (BA)).

Vi ser att kovariansen

{\begin{aligned}\operatörsnamn {Cov} (z',z'A')&=E\left[\left(z'-E(z')\right)\left(z'A' -E\left(z'A'\right)\right)'\right]\\&=E\left[(z'-\mu ')(z'A'-\mu 'A')'\right ]\\&=E\left[(z-\mu )'(Az-A\mu )\right].\end{aligned}}

och då

\left({z-\mu}\right)'\left({Az-A\mu}\right)

är en skalär alltså

(z-\mu )'(Az-A\mu )=\operatörsnamn {tr} \left[{(z-\mu )'(Az-A\mu )}\right]=\operatörsnamn {tr } \left[(z-\mu )'A(z-\mu )\höger]

trivialt. Med hjälp av permutationen får vi:

\operatörsnamn {tr} \left[{(z-\mu )'A(z-\mu )}\right]=\operatörsnamn {tr} \left[{A(z-\mu )(z- \mu )'}\right],

Och genom att inkludera detta i den ursprungliga formeln får vi:

{\begin{aligned}\operatörsnamn {Cov} \left({z',z'A'}\right)&=E\left[{\left({z-\mu}\right)'( Az-A\mu )}\right]\\&=E\left[\operatörsnamn {tr} \left[A(z-\mu )(z-\mu )'\right]\right]\\&= \operatörsnamn {tr} \left[{A\cdot E\left[(z-\mu )(z-\mu )'\right]}\right]\\&=\operatörsnamn {tr} [AV].\ end{aligned}}

Den matematiska förväntan av produkten av två olika kvadratiska former

Låt oss ta förväntan på produkten av två olika kvadratiska former i en Gaussisk slumpvektor X med noll medelvärde enligt följande: :p. 162–176

\operatörsnamn {E} [X^{T}AX][X^{T}BX]=2\operatörsnamn {tr} (ACBC)+\operatörsnamn {tr} (AC)\operatörsnamn {tr} (BC )

Där C återigen är kovariansmatrisen för X. Återigen, eftersom båda kvadratiska formerna är skalärer och därför deras produkt är en skalär, är medelvärdet av deras produkt också en skalär.

Vektor tidsserie

Utvecklingen av en k × 1 slumpmässig vektor över tiden kan modelleras som vektorautoregression (VAR) enligt följande: $\mathbf {X}$