Jacobi polynom

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 oktober 2018; kontroller kräver 2 redigeringar .

Jacobi ortogonala polynom
allmän information
Formel	${\begin{aligned}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\times \\\times \sum _{m=0}^{n}&{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}\end{aligned}}$
Skalär produkt	$(f,\;g)=\int _{-1}^{1}{(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }f(x)g(x )\,dx}$
Domän	$[-1,\;1]$
ytterligare egenskaper
Differentialekvation	${\begin{aligned}(1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+\\+n(n+\ alfa +\beta +1)y=0\end{aligned}}$
Döpt efter	Carl Jacobi

Jacobipolynom (eller Jacobipolynom ) är en klass av ortogonala polynom. Uppkallad efter Carl Gustaf Jacob Jacobi .

Definition

De kommer från hypergeometriska funktioner i fall där följande serier är ändliga [1] :

P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1 }\left(-n,\;1+\alpha +\beta +n;\;\alpha +1;\;{\frac {1-z}{2}}\höger),

var är Pochhammer-symbolen (för att odla factorial ), och därmed härleds uttrycket $(\alpha +1)_{n}$

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\ beta +n+1)}}\summa _{m=0}^{n}{n \välj m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma ( \alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},

Varifrån ett av slutvärdena är följande

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.

För hela $n$

{z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1))),

var är den vanliga gammafunktionen , och $\Gamma(z)$

{z \choose n}=0\quad {\text{for))\quad n<0.

Dessa polynom uppfyller ortogonalitetsvillkoret

\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\;\beta )} (x)P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta + 1}}{\frac {\Gamma (n+\alfa +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!)}}\delta _{nm} ,

för och . $\alfa >-1$ $\beta >-1$

Det finns en symmetrirelation för Jacobi-polynom.

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\;\alpha )}(z );

och därför ytterligare en betydelse av polynom:

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.

För ett riktigt Jacobi-polynom kan skrivas på följande sätt. $x$

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=\summa _{s}{n+\alpha \välj s}{n+\beta \välj ns}\left({\ frac {x-1}{2}}\right)^{ns}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s},

var och . $s\geqslant 0$ $ns\geqslant 0$

I det speciella fallet när , , och är icke-negativa heltal, kan Jacobi-polynomet ha följande form $n$ $n+\alfa$ $n+\beta$ $n+\alfa +\beta$

P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\summa _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(ns)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{ns}\left({\ frac {x+1}{2}}\right)^{s}.

Summan tas över alla heltalsvärden för vilka faktorerna är integrala. $s$

Denna formel gör det möjligt att uttrycka Wigners d-matris ( ) i termer av Jacobi-polynom $d_{m'm}^{j}(\varphi )$ $0\leqslant \varphi \leqslant 4\pi$

d_{m'm}^{j}(\varphi )=\xi _{m'm}\left[{\frac {(s)!(s+\mu +\nu )!}{(s+ \mu )!(s+\nu )!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\mu}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\nu}P_{s}^{(\mu ,\;\nu )}(\cos \varphi )

, [2] var

\mu =|mm'|,\nu =|m+m'|,s=j-{\frac {1}{2))(\mu +\nu )

Värdet bestäms av formeln ${\displaystyle \xi _{m'm))$

$\xi _{m'm}={\begin{cases}1,&{\text{if }}m\geq m'\\(-1)^{m'-m},&{\ text{if }}m<m'\end{cases}}$

Derivater

$k$ -th derivatan av ett explicit uttryck leder till

{\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)= {\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)))P_{nk}^{(\alpha +k,\;\beta +k)}(z).

Anteckningar

↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., red. (1965), "Kapitel 22" Arkiverad 17 augusti 2005 på Wayback Machine , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, s. 561, ISBN 978-0-486-61272-0 , MR0167642
↑ Varshalovich D. A., Moskalev A. N., Chersonsky V. K. Quantum theory of angular momentum. — 1975.

Litteratur

Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999), Special functions , vol. 71, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, MR : 1688958 , ISBN 978-0-521-62321-6 ; 978-0-521-78988-2 .
Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S.C.; Koekoek, Roelof & Swarttouw, René F., Orthogonal Polynomials , NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 .

Ortogonala polynom
Bessel polynom Gegenbauer polynom Kravchuk polynom Laguerre polynom Legendre polynom Polachek polynom Rogers polynom Zernike polynom Chebyshev polynom Charlier polynom Hermitpolynom Jacobi polynom