Legendre polynom

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 december 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Legendre polynom
allmän information
Formel	$P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1 )^{n}$
Skalär produkt	${\displaystyle (f,\;g)=\int \limits _{-1}^{1}{f(x)g(x)\,dx))$
Domän	$[-1,\;1]$
ytterligare egenskaper
Differentialekvation	$(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+n(n+1)u=0$
Norm	${\displaystyle \\|P_{n}(x)\\|={\sqrt {\frac {2}{2n+1))))$
Döpt efter	Legendre, Adrien Marie

Legendre- polynomet är det polynom som avviker minst från noll i betydelsen medelkvadrat . Bildar ett ortogonalt system av polynom på ett segment i rymden . Legendre polynom kan erhållas från polynom genom Gram–Schmidt-ortogonalisering . $[-1,\;1]$ $L^{2}$ $\{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;\ldots \}$

Uppkallad efter den franske matematikern Adrien Marie Legendre .

Definition

Legendre polynom och tillhörande Legendre funktioner av det första och andra slaget

Betrakta en differentialekvation av formen

(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+n(n+1)u=0,

(ett)

var är en komplex variabel . Lösningarna av denna ekvation för heltal har formen av polynom , kallade Legendre polynom . Gradpolynomet Legendre kan representeras genom Rodrigues formel i formen [1] $z$ $n$ $n$

P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2 }-1)^{n}.

Skriv ofta istället cosinus polarvinkel : $z$

P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{ n}}}(\cos ^{2}\theta -1)^{n}.

Ekvation ( 1 ) kan erhållas från ett specialfall av den hypergeometriska ekvationen , kallad Legendre-ekvationen

(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+\vänster[\nu (\nu +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right]u=0,

(2)

där , är godtyckliga komplexa konstanter. Av intresse är dess lösningar, som är enkelvärdiga och regelbundna för (särskilt på riktigt ) eller när den reella delen av numret är större än en. Hans lösningar kallas associerade Legendre-funktioner eller sfäriska funktioner (övertoner) . Substitutionen av formen i ( 2 ) ger Gaussekvationen , vars lösning i regionen har formen $\mu$ $\nu$ $|z|<1$ $z$ $z$ $w=(z^{2}-1)^{{\mu /2}}$ $|1-z|<2$

w=P_{\nu }^{\mu}(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )))\left({\frac {z+1}{z- 1}}\höger)^{\mu /2}F\left(-\nu ,\;\nu +1;\;1-\mu ;\;{\frac {1}{2}}-{\ frac {z}{2}}\right),

var är den hypergeometriska funktionen . Substitution i ( 2 ) leder till en lösning av formen $F$ $w=z^{2}$

w=Q_{\nu }^{\mu}(z)=e^{\mu i\pi }2^{-\nu -1}{\sqrt {\pi }}{\frac {\ Gamma (\nu +\mu +1)}{\Gamma (\nu +3/2)))z^{-\nu -\mu -1}(z^{2}-1)^{\mu / 2}F\left({\frac {\nu }{2))+{\frac {\mu }{2))+1,\;{\frac {\nu}{2))+{\frac { \mu }{2))+{\frac {1}{2));\;\nu +{\frac {3}{2));\;z^{-2}\höger),

definieras på . Funktionerna och kallas Legendre-funktioner av första och andra slaget . [2] $|z|>1$ $P_{\nu }^{\mu }(z)$ $Q_{\nu }^{\mu }(z)$

Följande relationer är giltiga [3]

P_{\nu }^{\mu }(z)=P_{{-\nu -1}}^{\mu }(z)

och

Q_{\nu }^{\mu }(z)\sin \pi (\nu +\mu)-Q_{{-\nu -1}}^{\mu}(z)\sin \pi (\nu -\mu )=\pi e^{{i\mu \pi }}\cos(\nu \pi )P_{\nu }^{\mu }(z).

Uttryck i termer av summor

Legendre polynom definieras också av följande formel:

P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n))}\sum _{k=0}^{E(n/2)}(-1)^{k} {\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}.

Återkommande formel

De kan också beräknas med den rekursiva formeln (för ) [4] : $n\geqslant 1$

P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n -1}(x),

(3)

och de två första funktionerna har formen

P_{0}(x)=1,

P_{1}(x)=x.

Derivatan av Legendre-polynomet

Beräknat med formeln [5]

P'_{n}(x)={\frac {n}{1-x^{2}}}[P_{n-1}(x)-xP_{n}(x)].

(fyra)

Rötterna till Legendre-polynomet

Beräknas iterativt med Newtons metod [5] :

x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}-{\frac {P_{n}(x_{i}^{(k)})}{P '_{n}(x_{i}^{(k)})}},

och den initiala approximationen för den -th roten ( ) tas enligt formeln [5] $i$ $i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$

x_{i}^{(0)}=\cos {\frac {\pi (4i-1)}{4n+2)).

Värdet på ett polynom kan beräknas med en rekursiv formel för ett specifikt x -värde . Derivatan kan också beräknas för ett visst värde på x med hjälp av derivatformeln .

Formler med expansioner

Legendre-polynomen definieras också av följande expansioner:

(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2))}=\summa _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t ^{n}

för

|t|<\min \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|,

(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x){ \frac {1}{t^{n+1}}}

för

|t|>\max \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|.

Följaktligen,

P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n (n-1)}{2(2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4( 2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}-\ldots\right].

Associerade Legendre polynom

De associerade Legendre-polynomen definieras av formeln

P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{ n}(x),

som också kan representeras som

P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}} P_{n}(\cos \theta ).

Funktionen är nämligen densamma som . $m=0$ $P_{n}^{m}$ $P_{n}$

Normalisering enligt Schmidts regel

Legendre-polynomen normaliserade enligt Schmidt-regeln ser ut så här [6] :

SP_{n}^{0}(x)=P_{n}^{0}(x),

SP_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}\left({\frac {2(nm)!}{(n+m)!}}\höger)^{ 1/2}P_{n}^{m}(x).

Skiftade Legendre polynom

De skiftade Legendre-polynomen definieras som , där skiftfunktionen (detta är en affin transformation ) är vald för att unikt mappa ortogonalitetsintervallet för polynomen till intervallet där de skiftade polynomen redan är ortogonala : ${\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)$ $x\mapsto 2x-1$ $[-1,\;1]$ $[0,\;1]$ ${\tilde {P_{n))}(x)$

\int \nolimits _{0}^{1}{\tilde {P_{m))}(x){\tilde {P_{n))}(x)\,dx={\frac {1 }{2n+1}}\delta _{mn}.

Det explicita uttrycket för de förskjutna Legendre-polynomen ges som

{\tilde {P_{n))}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k)){\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}.

En analog till Rodrigues formel för de förskjutna Legendre polynomen är

{\tilde {P_{n))}(x)={\frac {1}{n!)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[ ( x^{2}-x)^{n}\höger].

Uttryck för några första skiftade Legendre-polynom:

n	${\tilde {P_{n))}(x)$
0	$ett$
ett	$2x-1$
2	$6x^{2}-6x+1$
3	$20x^{3}-30x^{2}+12x-1$
fyra	$70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1$

Legendre polynomfunktionsmatris

{\begin{pmatrix}0&0&-2&0&0&\vdots &0&\vdots &0\\0&2&0&-6&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&6&0&-12&\vdots &\vdots &\0dots &&0dots &&0 \vprickar &\vprickar \\0&0&0&0&20&\vprickar &0&\vprickar &\vprickar \\\prickar &\prickar &\prickar &\prickar &\prickar &\ddots &\vprickar &\prickar &\vprickar \&\0&0&0 (k+1)&\prickar &\vprickar \\\prickar &\prickar &\prickar &\prickar &\prickar &\prickar &\prickar &\ddots &\vprickar \\0&0&0&0&0&\prickar &0&\prickar &n(n +1)\\\end{pmatrix}}

Denna matris är övre triangulär . Dess determinant är lika med noll, och egenvärdena är , där . $k(k+1)$ ${\displaystyle k\in \{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots ,\;n\))$

Exempel

De första Legendre polynomen i explicit form:

P_{0}(x)=1,

P_{1}(x)=x,

P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1),

P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x),

P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3),

P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x),

P_{6}(x)={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5),

P_{7}(x)={\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x),

P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12\,012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35 ),

P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12\,155x^{9}-25\,740x^{7}+18\,018x^{5}-4620x ^{3}+315x),

P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46\,189x^{10}-109\,395x^{8}+90\,090x^{6}-30 \,030x^{4}+3465x^{2}-63),

P_{11}(x)={\frac {1}{256}}(88\,179x^{11}-230\,945x^{9}+218\,790x^{7}-90 \,090x^{5}+15\,015x^{3}-693x),

P_{12}(x)={\frac {1}{1024}}(676\,039x^{12}-1\,939\,938x^{10}+2\,078\,505x ^{8}-1\,021\,020x^{6}+225\,225x^{4}-18\,018x^{2}+231),

P_{13}(x)={\frac {1}{1024}}(1\,300\,075x^{13}-4\,056\,234x^{11}+4\,849 \,845x^{9}-2\,771\,340x^{7}+765\,765x^{5}-90\,090x^{3}+3003x),

P_{14}(x)={\frac {1}{2048}}(5\,014\,575x^{14}-16\,900\,975x^{12}+22\,309 \,287x^{10}-14\,549\,535x^{8}+4\,849\,845x^{6}-765\,765x^{4}+45\,045x^{2}- 429),

P_{15}(x)={\frac {1}{2048}}(9\,694\,845x^{15}-35\,102\,025x^{13}+50\,702 \,925x^{11}-37\,182\,145x^{9}+14\,549\,535x^{7}-2\,909\,907x^{5}+255\,255x^{ 3}-6435x),

P_{16}(x)={\frac {1}{32768}}(300540195x^{16}-1163381400x^{14}+1825305300x^{12}-1487285800x^0927{861{10}+ }-162954792x^{6}+19399380x^{4}-875160x^{2}+6435),

P_{17}(x)={\frac {1}{32768}}(583\,401\,555x^{17}-2\,404\,321\,560x^{15}+4 \,071\,834\,900x^{13}-3\,650\,610\,600x^{11}+1\,859\,107\,250x^{9}-535\,422\, 888x^{7}+81\,477\,396x^{5}-5\,542\,680x^{3}+109\,395x).

För då $P_{n}(1)=1$

P_{n}(x)={\frac {\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}x^{2}+\ldots +\lambda _{n} x^{n)){\lambda _{0}+\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n))}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{n }\lambda _{i}x^{i}}{\sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}}}.

Egenskaper

Om , då $n \neq 0$ $\forall x\in (-1,\;1)\quad |P_{n}(x)|<1.$
För examen är . $n \neq 0$ $P_{n}$ $n$
Summan av koefficienterna för Legendre-polynomet är 1. $P_n(x)$
Ekvationen har exakt olika rötter på segmentet $P_{n}(x)=0$ $n$ $[-1,\;1].$
Låt . Sedan ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad U_{n}(x)=(x^{2}-1)^{n))$ $U'_{n+1}(x)-2(n+1)xU_{n}(x)=0,$ $(x^{2}-1)U'_{n}(x)-2nxU_{n}(x)=0.$
De associerade Legendre-polynomen är lösningar av differentialekvationen ${\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\right]-{\frac { m^{2}}{(1-x^{2})}}P_{n}(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.$

Vid tar ekvationen formen

m=0

P'_{n+1}(x)=xP'_{n}(x)+(n+1)P_{n}(x).

Genereringsfunktionen för Legendre-polynomen är $\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(z)x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-2xz+x^{2))} }.$
Ortogonalitetsvillkoret för dessa polynom på segmentet : $[-1,\;1]$ $\int \limits _{-1}^{1}P_{k}(x)P_{l}(x)\,dx={\frac {2}{2k+1}}\delta _{ kl},$

var är Kronecker-symbolen .

\delta _{{kl}}

För normen är $n\in \mathbb {N}$ $P_{n}$ $\|P_{n}\|={\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}P_{n}^{2}(x)\,dx))={\sqrt { \frac {2}{2n+1}}}.$
Den normaliserade Legendre polynomfunktionen är relaterad till normen genom följande relation: $P_{n}$ ${\tilde {P}}_{n}(x)={\frac {P_{n}(x)}{\|P_{n}\|}}={\sqrt {\frac {2n +1}{2}}}P_{n}(x).$
För varje är systemet med tillhörande Legendre-funktioner komplett i . $m>0$ $P_{n}^{m}(x),\ n=m,\;m+1,\;\ldots$ $L_{2}(-1,\;1)$
Beroende på och kan de associerade Legendre-polynomen vara antingen jämna eller udda funktioner: $m$ $n$ $P_{n}^{m}(-x)=(-1)^{{m+n}}P_{n}^{m}(x).$ ${\displaystyle P_{2n))$ är en jämn funktion, $P_{2n+1}$ är en udda funktion.
$P_{n}(1)=1.$
$P_{n}(-1)=(-1)^{n}.$
$P_{2n}(0)={\frac {1}{2^{2n))}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {2n }{k}}{\binom {4n-2k}{2n}}0^{2n-2k}={\frac {1}{2^{2n}}}(-1)^{n}{\binom {2n}{n}}$ , sedan , och . $\forall k\neq n\quad 0^{2n-2k}=0$ $0^{2n-2n}=1$
För utförs . $n \neq 0$ ${\displaystyle P_{2n}(0)\leqslant {\frac {1}{\sqrt {\pi n))))$
$\forall x\in [-1,\;1],\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad |P_{n}(x)|\leqslant {\sqrt { \frac {2}{\pi n(1-x^{2})}}}.$

Serie av legendre polynom

Expansion av en Lipschitz-funktion till en serie Legendre-polynom

Lipschitz-funktionen är en funktion med egenskapen $f$

|f(x)-f(y)|\leqslant L|xy|

, var .

L>0

Den här funktionen expanderar till en serie Legendre-polynom.

Låta vara utrymmet för kontinuerliga mappningar på segmentet , , och . $\varepsilon (I)$ $I=[-1,\;1]$ $f\in \varepsilon (I)$ $n\in \mathbb {N}$

Låta

c_{n}(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\tilde {P}}_{n}(x)\,dx,

uppfyller då följande villkor : $c_{n}(f)$

\lim _{n\to \infty }c_{n}(f)=0.

Låt och uppfylla följande villkor: $S_{n}f=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(f){\tilde {P}}_{k}$ $S_{n}f$

$\forall x\in I\quad S_{n}f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)f(y)\, dy$ , var $K_{n}(x,\;y)={\frac {n+1}{2}}{\frac {P_{n+1}(x)P_{n}(y)-P_{ n+1}(y)P_{n}(x)}{xy}};$
$S_{n}f(x)-f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y){\big (}f(y) -f(x){\big )}\,dy;$
$\forall x\in [-1,1]\quad \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).$

Lipschitz-funktionen kan skrivas på följande sätt: $f$

f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(f){\tilde {P}}_{n}.

Nedbrytning av en holomorf funktion

Vilken funktion som helst holomorf inuti en ellips med foci −1 och +1 kan representeras som en serie: $f$

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}P_{n}(x).

Additionssats

För kvantiteter som uppfyller villkoren , , , är ett reellt tal , kan vi skriva additionssatsen för Legendre polynom av det första slaget: [7] $0\leqslant \psi _{1}<\pi$ $0\leqslant \psi _{2}<\pi$ $\psi _{1}+\psi _{2}<\pi$ $\varphi$

P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m} P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi ,

eller alternativt via gammafunktionen :

P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\summa \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (k -m+1)}{\Gamma (k+m+1)}}P_{k}^{m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _ {2})\cos m\varphi .

För Legendre polynom av det andra slaget ser additionssatsen ut som [8]

Q_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})Q_{k}(\cos \psi _{2})+2\summa \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m} P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})Q_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi

under förhållanden , , . $0\leqslant \psi _{1}<\pi /2$ $0\leqslant \psi _{2}<\pi$ $\psi _{1}+\psi _{2}<\pi$ $\varphi$

Legendre funktioner

Legendre-polynom (tillsammans med tillhörande Legendre-funktioner ) uppstår naturligt i potentialteorin . $P_{{n,\;m}}(x)$

Sfäriska funktioner är funktioner (i sfäriska koordinater ) av formen (upp till en konstant) $r,\;\theta ,\;\varphi$

r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi

och

r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\sin m\varphi ,

var finns de associerade Legendre-polynomen. De kan också representeras som , där finns sfäriska funktioner . $P_{n}^{m}$ ${\displaystyle r^{n}Y_{nm))$ ${\displaystyle Y_{nm))$

De sfäriska funktionerna uppfyller Laplace-ekvationen överallt i . $\mathbb {R} ^{3}$

Anteckningar

↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , sid. 1039.
↑ Bateman, Erdeyi, volym 1, 1973 , sid. 126-127.
↑ Bateman, Erdeyi, volym 1, 1973 , sid. 140.
↑ Zimring, 1988 , sid. 196.
↑ 1 2 3 Zimring, 1988 , sid. 197.
↑ John W. Eaton, David Bateman, Søren Hauberg, Rik Wehbring. GNU Octave . - Edition 4 för Octave version 4.4.1. - 2018. - S. 530-531.
↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , sid. 1027.
↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , sid. 1028.

Litteratur

Bateman G., Erdeyi A. Högre transcendentala funktioner = Högre transcendentala funktioner / Per. N. Ya. Vilenkina. - Ed. 2:a,. - M. : Nauka, 1973. - T. 1. - 296 sid. - 14 000 exemplar.
Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Ekvationer av matematisk fysik. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-5 .
Gradshtein I. S., Ryzhik I. M . Tabeller över integraler, summor, serier och produkter. - Ed. 4:e, reviderad. - M . : Statens förlag för fysisk och matematisk litteratur, 1963. - 19 000 exemplar.
Campe de Ferrier J., Campbell R., Petio G., Vogel T. Funktioner av matematisk fysik. — M .: Fizmatlit, 1963.
Nikolsky S. M. Kvadraturformler. — M .: Nauka, 1988.
Zimring Sh. E. Specialfunktioner och bestämda integraler. Algoritmer. Program för miniräknare: en handbok. - M . : Radio och kommunikation, 1988.

Länkar

Legendre Polynomials - University of Rochester, 2010.

Ortogonala polynom
Bessel polynom Gegenbauer polynom Kravchuk polynom Laguerre polynom Legendre polynom Polachek polynom Rogers polynom Zernike polynom Chebyshev polynom Charlier polynom Hermitpolynom Jacobi polynom