Bernoulli polynom

Bernoulli polynom - en sekvens av polynom som uppstår i studiet av många speciella funktioner , i synnerhet Riemann ζ-funktionen och Hurwitz ζ-funktionen ; ett specialfall av Appel-sekvensen . Till skillnad från ortogonala polynom är Bernoulli polynom anmärkningsvärda i att antalet rötter i ett intervall inte ökar med graden av polynomet. Med en obegränsad gradökning närmar sig Bernoulli-polynom trigonometriska funktioner . $\ [0,1]$

Uppkallad efter Jacob Bernoulli .

Definitioner

Bernoulli polynom kan definieras på olika sätt beroende på bekvämlighet. $\ B_{n}(x)$

Explicit uppdrag:

{\displaystyle B_{n}(x)=\summa _{k=0}^{n}C_{n}^{k}B_{nk}x^{k))

,

var är binomialkoefficienter , är Bernoulli-tal , eller: $C_{n}^{k}$ ${\displaystyle \ B_{k))$

B_{n}(x)=\summa _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\summa _{k=0}^{m}(-1 )^{k}C_{m}^{k}(x+k)^{n}.

Genereringsfunktionen för Bernoulli polynom är:

{\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^ {n}}{n!}}.

Man kan representera Bernoulli-polynomen med en differentialoperator:

B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}

, var är den formella differentieringsoperatören .

D

De första Bernoulli polynomen är:

B_{0}(x)=1,

B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2)),

B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6)),

B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,

B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30)),

B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{ \frac {1}{6}}x,

B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x ^{2}+{\frac {1}{42}}.

Egenskaper

De initiala värdena för Bernoulli-polynomen vid är lika med motsvarande Bernoulli-tal : $\x=0$

{\displaystyle \ B_{n}(0)=B_{n))

.

Derivatan av den genererande funktionen:

te^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x )}{n!}}t^{n}

.

Den vänstra sidan skiljer sig från genereringsfunktionen endast genom faktorn , därför: $\t$

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!)}}t^{n}=\summa _{n=0} ^ {\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}

.

Jämföra koefficienterna vid samma potenser : $\t$

{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!)}}

,

var:

\ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)

.

(Funktioner som uppfyller den här egenskapen kallas Appel-sekvensen ).

Från den sista likheten följer regeln för integration av Bernoulli polynom:

\ B_{n}(x)=B_{n}+n\int _{0}^{x}B_{n-1}(t)\,dt

.

Balansegenskapen är också användbar:

\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0

(vid )

n>0

Argumentmultiplikationssats: om är ett godtyckligt naturligt tal , då: $m$

\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(mx){\frac {t^{n}}{n!)}}={\frac {te^{mxt}} { e^{t}-1))={\frac {1}{m}}e^{mxt}{\frac {mt(1+e^{t}+\cdots +e^{(m-1 ) t})}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}{\frac {e^{\left( x+ {\frac {s}{m}}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\summa _{s=0}^{m - 1}\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)m^{n}}{n! } }t^{n}.

De konstruerade expansionerna innebär argumentmultiplikationssatsen:

B_{n}(mx)=m^{n-1}\summa _{s=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {s}{m)) \höger)

.

Symmetri:

\ B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),

\ (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}.

Länkar

Milton Abramowitz och Irene A. Stegun, red. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables , (1972) Dover, New York.