Appel sekvens

Appel -sekvensen är en sekvens av polynom som uppfyller identiteten: ${\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots ))$

{\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)

där är en konstant som inte är noll. $p_{0}(x)$

Uppkallad efter Paul Emil Appel . Bland de mest kända Appel-sekvenserna, förutom det triviala exemplet , är Hermite polynom , Bernoulli polynom och Euler polynom . Varje Appel -sekvens är en Schaeffer-sekvens , men i allmänhet är Schaeffer-sekvenser inte Appel-sekvenser. Appelsekvenser har en probabilistisk tolkning som system av ögonblick . $\{x^{n}\}$

Motsvarande definitioner

Följande villkor för sekvenser av polynom är ekvivalenta med definitionen av en Appel-sekvens:

för någon sekvens av skalärer med : ${\displaystyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty ))$ $c_{0}\neq 0$ $p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{nk}$ ;
för samma sekvens av skalärer: $p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x ^{n}$ , var ; $D={\frac {d}{dx))$
för : $n=0,1,2,\ldots$ $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{nk}$ .

Rekursiv uppgift

Om en:

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n} =Sx^{n}

där den sista likheten definierar en linjär operator på rymden av polynom i , och: $S$ $x$

T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right) ^{-1}=\summa _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}

är den inversa operatorn, där koefficienterna är koefficienterna för den inversa formella potensserien , så att: $a_{k}$

Tp_{n}(x)=x^{n}\,

(i terminologin för skuggkalkyl används ofta en formell potensserie istället för själva Appel-sekvensen ), då har vi: $T$ $p_n$

\ln T=\ln \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)

använda den vanliga serieexpansionen för logaritmen och den vanliga definitionen av sammansättningen av formella serier. Var kommer det ifrån: $\ln(x)$

p_{n+1}(x)=(x-(\ln T)')p_{n}(x)

(Denna formella differentiering av en serie med avseende på en differentialoperator är ett exempel på Pinkerle-derivatan ). $D$

I fallet med hermitpolynom reduceras detta till den vanliga rekursiva formeln för denna sekvens.

Undergrupp av Schaeffer-polynom

Uppsättningen av alla Schaeffer-sekvenser är stängd under skuggsammansättningen av polynomsekvenser, definierade enligt följande. Låta och vara polynomsekvenser definierade enligt följande: ${\displaystyle \{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \))$ ${\displaystyle \{q_{n}(x)\kolon n=0,1,2,\ldots \))$

p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ och }}q_{n}(x)=\ summa _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}

Då är skuggkompositionen en sekvens av polynom, vars th term har formen: $p\circ q$ $n$

{\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\summa _{0\leqslant \ ell \leqslant k\leqslant n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell ))

(underordet visas i , eftersom det är den : e medlemmen i denna sekvens, men inte i , eftersom det här refererar till hela sekvensen, inte till en av dess medlemmar). $n$ $p_n$ $n$ $q$ $q$

Under en sådan operation är uppsättningen av alla Schaeffer-sekvenser en icke-Abelsk grupp , men uppsättningen av alla Appel-sekvenser är en Abelsk undergrupp . Dess Abeliska egenskap följer av det faktum att varje Appel-sekvens har formen:

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x ^{n}

och att skuggprodukten av Appel-sekvenser motsvarar multiplikationen av dessa formella potensserier med en operatorvariabel . $D$

Litteratur

Appell, Paul (1880). "Sur une classe de polynomes" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 2e-serien. 9 :119-144.
Roman, Steven; Rota, Gian-Carlo (1978). "The Umbral Calculus". Framsteg i matematik . 27 (2): 95-188. DOI : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 ..
Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrew (1973). Finite Operator Calculus. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 685-760. DOI : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .Omtryckt i boken med samma titel, Academic Press, New York, 1975.
Steve Roman. Umbralräkningen. — Dover Publications .
Theodore Seio Chihara. En introduktion till ortogonala polynom. - Gordon and Breach, New York, 1978. - ISBN 978-0-677-04150-6 .

Länkar

Appell sekvenser - Encyclopedia of Mathematics artikel . Yu. A. Kazmin
Appell Sequence på MathWorld