Skuggkalkyl

Shadow calculus (från engelska Umbral calculus , vidare från latinet umbra - "skugga") är en matematisk metod för att erhålla några algebraiska identiteter. Fram till 1970-talet hänvisade termen till likheten mellan vissa till synes orelaterade algebraiska identiteter , såväl som de tekniker som användes för att bevisa dessa identiteter. Dessa tekniker föreslogs av John Blissard [1] och kallas ibland Blissards symboliska metod . De tillskrivs ofta Edward Lucas (eller James Joseph Sylvester ) som använde dem flitigt [2] .

På 1930- och 1940 -talen försökte Eric Temple Bell att sätta skuggkalkyl på en strikt grund.

På 1970-talet utvecklade Stephen Roman, Gian-Carlo Rota och andra skuggkalkylen i betydelsen linjära funktionaler på polynomens rymd. För närvarande hänvisar skuggkalkyl till studiet av Schaeffer-sekvenser , inklusive sekvenser av binomial-typ polynom och Appel-sekvenser , men kan inkludera finita skillnadskalkyltekniker .

Skuggkalkyl på 1800-talet

Metoden är en notationsprocedur som används för resulterande identiteter som involverar indexerade nummersekvenser, förutsatt att indexen är potenser av . Den bokstavliga användningen är absurd, men den fungerar framgångsrikt - de identiteter som erhålls med hjälp av skuggkalkylen kan erhållas korrekt med mer komplexa metoder som kan användas bokstavligen utan logiska svårigheter.

Exemplet använder Bernoulli polynom . Tänk till exempel på den vanliga binomialexpansionen (som innehåller binomialkoefficienter ):

{\displaystyle (y+x)^{n}=\summa _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{nk}x^{k))

och en anmärkningsvärt liknande utseende relation för Bernoulli polynom :

B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}(y)x^{k}.

Vi jämför också den första derivatan

{\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}

med en mycket liknande relation för Bernoulli polynom:

{\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).

Dessa likheter tillåter konstruktionen av skuggbevis som vid första anblicken kanske inte är sanna, men som ändå fungerar. Så, till exempel, om vi anser att indexet är en grad: $nk$

B_{n}(x)=\summa _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{nk}x^{k}=(b+x)^{n},

efter differentiering får vi det önskade resultatet:

B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).

I formlerna ovan står "umbra" (det latinska ordet för "skugga"). $b$

Se även Faulhaber formel .

Taylors skugga rankas

Liknande samband har också observerats i teorin om ändliga skillnader . Skuggversionen av Taylor-serien ges av liknande uttryck som använder de högra skillnaderna i polynomet , $k$ $\Delta ^{k}[f]$ $f$

f(x)=\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](0)}{k!))(x)_{k}

var

(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)

är Pochhammer-symbolen , som används här för att representera den minskande faktorn. Ett liknande förhållande gäller för vänstersidiga skillnader och ökande faktoraler.

Dessa serier är också kända som Newtons serie eller Newtons högra expansion . En analog av Taylor-expansionen används i finita differenskalkyl .

Bell och Riordan

På 1930- och 1940 -talen försökte Eric Temple Bell utan framgång göra denna typ av argument logiskt rigorös. John Riordan, som arbetade inom kombinatorik , använde denna teknik flitigt i sin bok Combinatorial Identities (Combinatorial Identities), publicerad på 1960-talet.

Modern skuggkalkyl

En annan forskare inom kombinatorikområdet, Gian-Carlo Rota, påpekade att mysteriet försvinner om vi betraktar en linjär funktionell över polynom från , definierad som $L$ $z$

L\left(z^{n}\right)=B_{n}(0)=B_{n}.

Sedan, med hjälp av definitionen av Bernoulli polynom och definitionen av linjäritet , kan man skriva $L$

B_{n}(x)=\summa _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}x^{k}=\summa _{k=0}^{n }{n \choose k}L\left(z^{nk}\right)x^{k}=L\left(\summa _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{ nk}x^{k}\höger)=L\vänster((z+x)^{n}\höger).

Detta gör att du kan ersätta posten med , det vill säga flytta från det nedre indexet till det övre (nyckeloperationen för skuggkalkyl). Det kan vi till exempel nu bevisa $B_{n}(x)$ $L((z+x)^{n})$ $n$

{\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}(y)x^{k))

genom att expandera höger sida

\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{nk}(y)x^{k}=\summa _{k=0}^{n}{n \choose k}L\vänster((z+y)^{nk}\höger)x^{k}=L\vänster(\summa _{k=0}^{n}{n \välj k}(z+y )^{nk}x^{k}\höger)=L\vänster((z+x+y)^{n}\höger)=B_{n}(x+y).

Rota hävdade senare att mycket av förvirringen berodde på misslyckanden med att skilja mellan de tre likvärdighetsrelationerna som uppstår på detta område.

I en artikel från 1964 använde Rota skuggmetoder för att upprätta en rekursionsformel som tillfredsställs av Bell-tal , som räknar antalet partitioner av ändliga mängder.

I artikeln av Roman och Rota [3] beskrivs skuggkalkyl som studiet av en skuggalgebra (umbral algebra) definierad som en algebra av linjära funktionaler över ett vektorrum av polynom från med en produkt av linjära funktionaler definierade som $x$ ${\displaystyle L_{1}L_{2))$

\langle L_{1}L_{2}\mid x^{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\langle L_{1}\mid x ^{k}\rangle \langle L_{2}\mid x^{nk}\rangle .

Om en sekvens av polynom ersätter en sekvens av tal som bilder under en linjär mappning tycks skuggmetoden vara en väsentlig del av Roths allmänna teori om speciella polynom, och denna teori är skuggkalkyl under vissa modernare definitioner av termen [4 ] . Ett litet exempel på denna teori finns i artikeln om sekvensen av polynom av binomial typ . En annan artikel är Schaeffer Sequence . ${\displaystyle y^{n))$ $L$

Rota tillämpade senare skuggkalkylen i stor utsträckning i ett gemensamt dokument med Shen för att studera olika kombinatoriska egenskaper hos semi-invarianter [5] .

Anteckningar

↑ Blissard, 1861 .
↑ Bell, 1938 , sid. 414–421.
↑ Roman, Rota, 1978 , sid. 95–188.
↑ Rota, Kahaner, Odlyzko, 1973 , sid. 684.
↑ Rota, Shen, 2000 , sid. 283–304.

Litteratur

Bell ET Historien om Blissards symboliska metod, med en skiss över dess uppfinnares liv // The American Mathematical Monthly . - Mathematical Association of America , 1938. - V. 45 , nr. 7 . — S. 414–421 . — ISSN 0002-9890 . — .
John Blissard. Theory of generic equations // Kvartalstidningen för ren och tillämpad matematik. - 1861. - T. 4 . — S. 279–305 .
Steven M. Roman, Gian-Carlo Rota. Umbralkalkylen // Framsteg i matematik. - 1978. - T. 27 , nr. 2 . — S. 95–188 . — ISSN 0001-8708 . - doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 .
Rota GC, Kahaner D., Odlyzko A. Om grunderna för kombinatorisk teori. VIII. Finita operatorkalkyl // Journal of Mathematical Analysis and its Applications. - 1973. - Juni ( vol. 42 , nummer 3 ). - S. 684 . - doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . Omtryckt i boken med samma titel, Academic Press, New York, 1975.

Steve Roman. Umbralkalkylen . — London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1984. - Vol 111. - (Ren och tillämpad matematik). — ISBN 978-0-12-594380-2 . . Omtryckt av Dover, 2005.
Roman S. Umbral calculus // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Rota G.-C. , Shen J. On the Combinatorics of Cumulants // Journal of Combinatorial Theory. - 2000. - T. 91 . — S. 283–304 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Umbral Calculus (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
A. Di Bucchianico, D. Loeb. A Selected Survey of Umbral Calculus // Electronic Journal of Combinatorics . - 2000. - T. DS3 . Arkiverad från originalet den 24 februari 2012.
Roman, S. (1982), The Theory of the Umbral Calculus, I