Minskande och ökande factorial

Minskande faktor [1] (kallas ibland lägre , gradvis minskande eller fallande faktor [2] [3] ) skrivs med hjälp av Pochhammer-symbolen och definieras som

(x)_{n}=x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-(n-1))=\prod _{k= 1}^{n}(x-(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(xk).

Den ökande faktorialen (ibland namnen Pochhammer funktion , Pochhammer polynom [4] , övre , gradvis ökande eller stigande faktorial [2] [3] ) definieras som

x^{(n)}=x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+(n-1))=\prod _{k=1 }^{n}(x+(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).

Värdet på båda faktorerna tas lika med 1 ( den tomma produkten ) för n = 0.

Pochhammer-symbolen , föreslagen av Leo August Pochhammer , är beteckningen för , där är ett icke- negativt heltal . Beroende på sammanhanget kan Pochhammer-symbolen representera den minskande faktorialen eller den ökande faktorialen enligt definitionen ovan. Försiktighet måste iakttas vid tolkning av symbolen i en viss artikel. Pochhammer använde själv en notation med en helt annan innebörd, nämligen att beteckna binomialkoefficienten [5] . $(x)_{n}$ $n$ $(x)_{n}$ ${\binom {x}{n))$

I den här artikeln används en symbol för att representera en minskande faktor, och en symbol används för att representera en ökande faktor. Dessa konventioner accepteras inom kombinatorik [6] . I teorin om specialfunktioner (särskilt den hypergeometriska funktionen ) används Pochhammer-symbolen för att representera den ökande faktorialen [7] En användbar lista över formler för att manipulera ökande faktorial i denna sista notation ges i Lucy Slaters bok [8] . Knuth använde termen faktoriella krafter som inkluderar ökande och minskande faktoral [9] $(x)_{n}$ ${\displaystyle x^{(n)))$ $(x)_{n}$

Om x är ett icke-negativt heltal, så ger det antalet n -permutationer av x -elementuppsättningen, eller, ekvivalent, antalet injektioner från en uppsättning med n element till en uppsättning av storlek x . Däremot används andra notationer för dessa värden, såsom P ( x ,n ). Pochhammer-symbolen används mest för algebraiska ändamål, till exempel när x är en okänd storhet, i vilket fall det betyder ett visst polynom i x av grad n . $(x)_{n}$ $_{x}P_{n}$ $(x)_{n}$

Exempel

De första ökande faktorerna:

x^{(0)}=x^{\overline {0}}=1

x^{(1)}=x^{\overline {1}}=x

x^{(2)}=x^{\overline {2}}=x(x+1)=x^{2}+x

x^{(3)}=x^{\overline {3}}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x

x^{(4)}=x^{\overline {4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+ 11x^{2}+6x

De första sjunkande faktorerna:

(x)_{0}=x^{\underline {0}}=1

(x)_{1}=x^{\underline {1}}=x

(x)_{2}=x^{\underline {2}}=x(x-1)=x^{2}-x

(x)_{3}=x^{\underline {3}}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x

(x)_{4}=x^{\underline {4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+ 11x^{2}-6x

Koefficienterna som erhålls genom att öppna parenteserna är stirlingtal av det första slaget .

Egenskaper

Ökande och minskande faktorial kan användas för att uttrycka binomialkoefficienter :

{\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \choose n}

och

{\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \choose n}.

Sedan överförs många identiteter för binomialkoefficienter till ökande och minskande faktorialer.

En ökande faktor kan uttryckas i termer av en minskande faktor som börjar i andra änden,

x^{(n)}={(x+n-1)}_{n},

eller som en minskande faktor med motsatt argument,

x^{(n)}={(-1)}^{n}{(-x)}_{n}.

Ökande och minskande faktorial är väldefinierade i vilken enhetlig ring som helst , och därför kan x vara till exempel ett komplext tal , ett negativt tal, ett polynom med komplexa koefficienter eller vilken komplex funktion som helst .

Den ökande faktorialen kan utökas till verkliga värden på n med hjälp av gammafunktionen :

x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)))),

och på samma sätt den minskande faktorn:

(x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1))).

Om vi betecknar med att D tar derivatan av x får vi

D^{n}(x^{a})=(a)_{n}\,\,x^{an}.

Pochhammer-symbolen är en integrerad del av definitionen av den hypergeometriska funktionen - den hypergeometriska funktionen är definierad för | z | < 1 kraftserie

\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\summa _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n) } \över c^{(n)}}\,{z^{n} \över n!}

förutsatt att c inte är lika med 0, −1, −2, ... . Observera dock att i litteraturen om den hypergeometriska funktionen betecknas den ökande faktorialen med . ${(a)}_{n}$

Anslutning till skuggkalkyl

Den minskande faktorialen förekommer i en formel som representerar polynom med den finita skillnadsoperatorn , och som formellt liknar Taylors sats . I denna formel och många andra ställen spelar den minskande faktorialen vid beräkning av ändliga skillnader en roll vid beräkning av derivatan. Notera till exempel likheten $\vartriangle$ ${\displaystyle (x)_{k))$ $x^{k}$

\Delta (x)_{k}=k\ (x)_{k-1},

på

Dx^{k}=k\ x^{k-1},

Liknande fakta gäller för ökande fakulteter.

Studiet av analogier av denna typ är känt som " skuggräkning " [10] . Huvudteorin som beskriver sådana relationer, inklusive minskande och ökande funktioner, beaktas i teorin om polynomsekvenser av binomial typ och Schaeffer-sekvenser . Ökande och minskande faktorial är Schaeffer-sekvenser av binomial typ, vilket visas av följande relationer:

(a+b)^{(n)}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)^{(nj)}(b)^{(j) }

{\displaystyle (a+b)_{n}=\summa _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)_{nj}(b)_{j))

där koefficienterna är desamma som i potensserieexpansionen av den binomala Vandermonde-identiteten ).

På liknande sätt är den genererande funktionen för Pochhammer-polynomen lika med summan av skuggexponenterna,

\sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}~{\frac {t^{n}}{n!)}}=(1+t)^{x} ~ ,

sedan . $\vartriangle (1+t)^{x}=t(1+t)^{x}$

Kopplingskoefficienter och identiteter

Minskande och ökande faktorial är relaterade till varandra med hjälp av Lach-tal och med hjälp av summor av heltalspotenser av en variabel med hjälp av Stirlingtal av det andra slaget , enligt följande (här ): [11] $x$ ${\binom {r}{k}}=r^{\underline {k}}/k!$

{\begin{aligned}x^{\underline {n}}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac { n!}{k!}}\ gånger (x)_{k}\\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x-n+1)_{n}= {\frac {1}{(x+1)^{\överlinje {-n))))\\(x)_{n}&=\summa _{k=0}^{n}{\binom { n}{k}}(n-1)^{\underline {nk}}\ gånger x^{\underline {k}}\\&=(-1)^{n}(-x)^{\underline {n}}=(x+n-1)^{\underline {n}}={\frac {1}{(x-1)^{\underline {-n}}}}\\&={\ binom {-x}{n}}(-1)^{n}n!\\&={\binom {x+n-1}{n}}n!\\x^{n}&=\summa _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\nk\end{matrix}}\right\}x^{\underline {nk}}\\&=\summa _ {k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(-1)^{nk}(x)_{k}.\ end{aligned}}

Eftersom minskande faktorial är grunden för en polynomring , kan vi uttrycka produkten av två av dem som en linjär kombination av minskande faktorial:

(x)_{m}(x)_{n}=\summa _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,(x)_ {m+nk}.

Koefficienterna vid kallas kopplingskoefficienter och har en kombinatorisk tolkning som antalet sätt att limma k element från en uppsättning av m element och en uppsättning av n element. Vi har också en kopplingsformel för förhållandet mellan två Pochhammer-symboler ${\displaystyle (x)_{m+nk))$

{\frac {(x)_{n}}{(x)_{i}}}=(x+i)_{ni},\ n\geq i.

Dessutom kan vi utöka den generaliserade maktregeln och negativa ökande och minskande makter med följande identiteter:

{\begin{aligned}x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}\\(x)_{m+n}& =(x)_{m}(xm)_{n}\\(x)_{-n}&={\frac {1}{(xn)_{n))}={\frac {1} {(x-1)^{\underline {n}}}}\\x^{\underline {-n}}&={\frac {1}{(x+1)_{n}}}={ \frac {1}{n!{\binom {x+n}{n))))={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n))). \end{aligned}}

Slutligen ger dubbleringsformeln och multiplikationsformeln för ökande faktorial följande relationer:

(x)_{k+mn}=(x)_{k}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+j+ k }{m}}\right)_{n},\ m\in \mathbb {N}

(ax+b)_{n}=x^{n}\prod _{k=0}^{x-1}\left(a+{\frac {b+k}{x))\right )_{n/x},\ x\in \mathbb {Z} ^{+}

(2x)_{2n}=2^{2n}(x)_{n}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)_{n}.

Alternativa beteckningar

Alternativ notation för att öka faktorial

x^{\overline {m}}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m~\mathrm {faktorer} }

för hela

m\geq 0,

Och för den minskande faktorn

x^{\underline {m}}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m~\mathrm {faktorer} }

för hela

m\geq 0;

går tillbaka till A. Capelli (1893) respektive L. Toscano (1939) [12] . Graham, Knuth och Patashnik [13] föreslog att detta uttryck skulle uttalas som "öka x med m " respektive "minska x med m ".

Andra beteckningar för minskande faktorial inkluderar eller . (Se artiklarna " Permutation " och " Kombination ".) ${\displaystyle P(x,n),^{x}P_{n},P_{x,n))$ $_{x}P_{n}$

En alternativ notation för att öka faktorial används mer sällan. För att undvika förvirring, när notationen för ökande faktorial används, är notationen för den vanliga minskande faktorialen [5] . ${\displaystyle (x)_{n}^{+))$ ${\displaystyle x^{(n)))$ ${\displaystyle (x)_{n}^{+))$ ${\displaystyle (x)_{n}^{-))$

Generaliseringar

Pochhammer-symbolen har en generaliserad version som kallas den generaliserade Pochhammer-symbolen , och används i multivariat analys . Det finns också en q -analog , Pochhammer q -symbolen .

En generalisering av minskande faktor, där funktionen utvärderas på en minskande aritmetisk progression:

[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(xh)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),

Motsvarande generalisering av den ökande faktorialen

[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).

Denna notation kombinerar de ökande och minskande faktoralerna, som är lika med respektive . $[x]^{\tfrac {k}{1))$ $[x]^{\tfrac {k}{-1))$

För alla fasta aritmetiska funktioner och symboliska parametrar , de associerade generaliserade produkterna av formuläret $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ $x,t$

(x)_{n,f,t}:=\prod _{k=1}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k)) }\höger)

kan studeras i termer av klasser av generaliserade Stirlingtal av det första slaget , definierade med hjälp av följande koefficienter vid i expansionen , och sedan med hjälp av följande återkommande relation: $x$ ${\displaystyle (x)_{n,f,t))$

{\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=[x^{k-1}](x )_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\vänster[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matris}}\höger] _{f,t}+\vänster[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\höger]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}

Dessa koefficienter tillfredsställer många egenskaper som liknar de för Stirlingtal av det första slaget , såväl som återkommande förhållanden och funktionella likheter associerade med f-harmoniska tal [14] . ${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\summa _{k\leq n}t^{k}/f(k)^{r))$

Se även

k - Pochhammer-symbol
Vandermonde identitet

Anteckningar

↑ Koganov, 2007 .
↑ 1 2 Lando, 2008 .
↑ 1 2 Traub, 1985 , sid. 106.
↑ Steffensen, 1950 , sid. åtta.
↑ 1 2 Knuth, 1992 , sid. 403–422.
↑ Olver, 1999 , sid. 101.
↑ Så, till exempel, i boken "Handbook of Mathematical Functions" av Abramovich och Stegun, s. 256
↑ Slater, 1966 , sid. bilaga I.
↑ Knuth, Konsten att programmera, Vol. 1, 3:e uppl., sid. femtio.
↑ Förekomsten av många gemensamma egenskaper i binomialsekvenser uppfattades länge som något mystiskt och oförklarligt, varför deras studie kallades umbral calculus, d.v.s. skuggkalkyl ( Lando 2008 ).
↑ Introduktion till faktorerna och binomialerna . Wolfram Functions Site . (obestämd)
↑ Enligt Knuth The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3:e uppl., sid. femtio.
↑ Graham, Knuth, Patashnik, 1988 , sid. 47-48.
↑ Kombinatoriska identiteter för generaliserade Stirlingtal som expanderar f-faktoriella funktioner och f-harmoniska siffror (2016).

Litteratur

Koganov L.M. Två uppgifter // Informatik. - 2007. - Utgåva. 10 .

Lando S.K. Shadow Calculus // Sommarskola "Modern Mathematics". - 2008. - Utgåva. 2 lektioner . Arkiverad från originalet den 15 december 2017.
Traub J. Iterativa metoder för att lösa ekvationer. - M . : "Mir", 1985.
Steffensen JF Interpolation. — 2:a. - Dover Publications, 1950. - P. 8. - ISBN 0-486-45009-0 .
Donald E. Knuth. Två anteckningar om notation // American Mathematical Monthly

volym=99. - 1992. - Utgåva. 5 . — S. 403–422 . - doi : 10.2307/2325085 . - arXiv : math/9205211 . — .. En anteckning om Pochhammer-symboler finns på sidan 414. Donald E. Knuth. Konsten att programmera. - 3:e upplagan .. - 1997. - T. 1. - S. 50. - ISBN 0-201-89683-4 .

- Donald E. Knuth. 1.2.5 Permutationer och faktorialer // Konsten att programmera. - tredje upplagan. - Williams, 2002. - V. 1 Grundläggande algoritmer. - ISBN 978-5-8459-1984-7 , 978-5-8459-0080-7.
Ronald L. Graham , Donald Knuth , Oren Patashnik . Konkret matematik . - Addison-Wesley, Reading MA, 1988. - ISBN 0-201-14236-8 .
Peter J Olver. Klassisk invariantteori. - Cambridge University Press, 1999. - ISBN 0-521-55821-2 .
Lucy J. Slater. Generaliserade hypergeometriska funktioner . — Cambridge University Press, 1966.

Länkar

Weisstein, Eric W. Pochhammer Symbol (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Elementära bevis