Vasicek modell

Vasicek-modellen är en matematisk enfaktorsjämviktsmodell som beskriver utvecklingen av den så kallade momentana räntan .

Beskrivning

Modellen föreslogs av Oldrich Vasichek 1977. Enfaktoralitet beror på att endast en källa till osäkerhet i hastighetsdynamiken är involverad i modellen. Denna modell förutsätter att räntan fluktuerar kring en viss genomsnittlig nivå.

Denna modell var den första som tog hänsyn till räntornas tendens att återgå till medelvärdet ( engelska mean reversion ): räntorna kan inte stiga i det oändliga, eftersom deras höga nivå kommer att begränsa den ekonomiska aktiviteten och, efter en viss gräns, kommer att leda till att den noll; å andra sidan är priserna naturligtvis begränsade underifrån. Räntorna bör därför röra sig inom ett begränsat intervall.

Nackdelen med Vasiceks modell är att den använder en normalfördelning för volatilitetsdriftskoefficienten, vilket teoretiskt tillåter negativa kurser.

Matematisk modell

Matematiskt skrivs modellen som följande stokastiska differentialekvation av diffusionstyp ( Ornstein-Uhlenbecks ekvation ) [1] :

$dr_{t}=\alpha (\beta -r_{t})\Delta t+\sigma \epsilon {\sqrt {\Delta t))$ ,

var:

$\epsilon {\sqrt {\Delta t))$ — Wienerprocess ( — slumpmässigt urval från standardnormalfördelningen vid tidpunkten t : ), $\epsilon$ $\epsilon \left(t\right)\sim \mathrm {N} \left(0,1\right)$
$\beta$ - den genomsnittliga (långsiktiga) räntenivån,
$\alfa$ är en parameter som kännetecknar avkastningen till medelvärdet ( ), $0\leq \alpha \leq 1$
$\sigma$ — Volatilitetsparameter. I Vasicek-modellen beror kursvolatiliteten inte på det aktuella kursvärdet.

1990 och 1991 introducerades Black-Derman-Toy respektive Black-Karasinsky-modellerna, vilket introducerade icke-stationär volatilitet.

Lösning av ekvationen

Lösningen av Vasicek-ekvationen har formen:

$r_{t}=r_{0}e^{{-\alpha t}}+\beta (1-e^{{-\alpha t}})+\sigma e^{{-\alpha t}}\ int _{0}^{t}e^{{\alpha s}}dW_{s}$

Den matematiska förväntan och volatiliteten för kursen är lika med:

$E(r_{t})=r_{0}e^{{-\alpha t}}+\beta (1-e^{{-\alpha t}})=\beta +(r_{0}-\ beta )e^{{-\alpha t}}~,~~V(r_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}(1-e^{{-2 \alpha t}})$

Därför, när vi har en långsiktig genomsnittlig ränta och volatilitet $t\högerpil\infty$ $E(r)=\beta ~,~~V(r)={\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}$

Avkastningskurva

Ekvationen för avkastningskurvan (räntestrukturen för räntorna) som motsvarar Vasicek-modellen har formen:

$R(t)=R_{{\infty }}+(r_{0}-R_({\infty }}){\frac {1-e^{{-\alpha t}}}{\alpha t}} +{\frac {\sigma ^{2}(1-e^{{-\alpha t)))^{2}}{4\alpha ^{3}t}}~,~~R_{{\infty }}=\lim _{{t\rightarrow \infty }}R(t)=\beta +\lambda \sigma /a-0.5\sigma ^{2}/\alpha ^{2}$

$\lambda$ - Marknadsriskpriset, bestämt utifrån villkoret om avsaknad av arbitrage vid bildandet av obligationer med olika löptider.

Se även

Diffusionsmodell för ränteutvecklingen

Anteckningar

↑ Meissner, Gunter. Modellering och hantering av korrelationsrisk : en tillämpad guide inklusive Basel III-korrelationsramverket - med interaktiva modeller i Excel/VBA . - Wiley, 2014. - P. 47. - ISBN 111879690X .