Modulärt galler

Ett modulärt gitter ( Dedekind gitter ) är ett gitter där varje par av element är modulärt , det vill säga modularitetslagen är giltig - en kvasi-identitet : $a,b\in L$

\forall x\in L:x\leqslant b\Rightarrow x\vee (a\wedge b)=(x\vee a)\wedge b

Det viktigaste exemplet på ett modulärt gitter är gittret av delrum i ett vektorrum ; gittret av normala undergrupper av gruppen och gittret av ideal i ringen är också modulära .

Varje distributionsgitter är modulärt, det omvända är inte sant: en romb (diamant) är ett exempel på ett modulärt gitter som inte är distributivt.

Det minsta icke-modulära gittret är en fem-element femhörning , alla icke-modulära gitter innehåller det som ett subgitter. $N_5$

I modulära gitter, är intervall isomorphism theorem giltig: för alla två element i ett modulärt gitter , både intervall och är isomorfa, direkt avbildning: , invers - . $a$ $b$ $[a\wedge b,b]$ $[a,a\vee b]$ $\phi (x)=x\vee a$ $\psi (y)=y\wedge b$

Ett icke-modulärt gitter kan innehålla element som uppfyller modularitetslagen. Ett element sägs lämnas modulärt om, för något element , paret är modulärt. $a$ $b$ $a,b$

Ett element kallas högermodulärt om paret för något element är modulärt. $b$ $a$ $a,b$

Lagen om modularitet och några av dess konsekvenser etablerades först av Richard Dedekind 1894 .

Litteratur

Dedekind galler - artikel från Encyclopedia of Mathematics . L. A. Skornyakov
Saliy V. N., Skornyakov L. A. . Kapitel V. Gitter // Allmän algebra / Ed. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Science , 1991. - T. 2. - S. 192-294. — 480 s. — (Referens matematiskt bibliotek). — 25 000 exemplar. — ISBN 5-9221-0400-4 .
G. Gretzer. IV. Modular lattices // General Lattice Theory = General Lattice Theory / redigerad av D. M. Smirnov. - M .: Mir, 1981. - S. 211-224. — 456 sid.
Birkhoff G. Gitterteori . - M. : Nauka, 1984. - 568 sid.