Kvasivariation

En kvasivarietet (från latin quas (i) "liknar", "något liknande") i universell algebra är en klass av algebraiska system med en fast signatur , axiomatiserade av en uppsättning kvasiidentiteter ( Horndisjunkter ).

Till skillnad från varieteter , som är klasser av algebraiska system som axiomatiseras av identiteter, spelar modellteoretiska metoder en speciell roll i teorin om kvasvarieteter, medan varieteter huvudsakligen betraktas för algebror (algebraiska system utan relationer i signaturen) och studeras med allmänna algebraiska metoder. [1] .

Definitioner

För ett algebraiskt system med en uppsättning operationer och relationer anses formler av formen vara kvasi -atomiska: ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\to A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\to A,\dots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$

$r_{i}(f_{j1}(x_{1},\dots ,x_{n_{j))),\dots ,f_{km_{i))(x_{k1},\dots ,x_ {n_{k}})))$ (eller i relationsbeteckning: ), $(f_{j1}(x_{1},\dots x_{n_{j))),\dots ,f_{km_{i))(x_{k1},\dots ,x_{n_{k} }))\in r_{i}$
$f_{j}(x_{1},\dots ,x_{n_{j)))=f_{k}(x_{1},\dots ,x_{n_{k))))$ ,

där , , och är symboler för variabler. (Ibland ingår likhet i signaturen för ett algebraiskt system som en relation, i vilket fall formler av det första slaget räcker.) $r_i \i R$ $f_i \i F$ $x_{i}$

Kvasi -identiteter är formler av formen:

{\displaystyle \forall x_{1},\dots ,x_{k}\,{\big (}{\mathcal {F}}_{1}\land \dots \land {\mathcal {F}}_{ m}\högerpil {\mathcal {F}}_{m+1}{\big )))

var finns kvasiatomära formler med variabler . En kvasivarietet är en klass av algebraiska system som definieras av en uppsättning kvasiidentiteter. $\mathcal F_i$ $x_1,\prickar x_k$

Karakteristiska egenskaper

Vilken variation av algebraiska system som helst är en kvasivarietet på grund av det faktum att vilken identitet som helst (från en kvasiatomisk formel) kan ersättas till exempel av en kvasi-identitet motsvarande den [2] . $\forall x_{1},\dots ,x_{n}\,{\mathcal {F))(x_{1},\dots x_{n})$ ${\displaystyle \forall x_{1},\dots ,x_{n}\,{\big (}x_{1}=x_{1}\Rightarrow {\mathcal {F))(x_{1},\dots ,x_{n}){\big )))$

Om en kvasivarietet är ändligt axiomatiserbar, så är den ändligt definierbar [3] .

Identitetens algebraiska system för en given signatur , det vill säga ett system som stöds av ett element , så att och , är en kvasivarietet (och dessutom en variation). Den minsta kvasivarianten av en given signatur är en varietet, ges av identiteter och består av ett enda identitetssystem. Den största kvasivarianten av baksignatur är också en variant, klassen av alla system av en given signatur, definierad av identiteten . [fyra] $\langle F, R \rangle$ $e$ $\forall(f\in F)f(e, \dots e_i, \dots)=e$ $\forall(r\in R)(e, \dots e_i, \dots) \in r$ $\forall(x,y\in A)(x=y)$ $\forall(x_1, \dots x_k \in A)(x_1, \dots x_k)\in r$ $\forall(x)(x=x)$

Varje kvasivarietet inkluderar en godtyckligt filtrerad produkt av dess ingående system [5] .

För att en klass av system ska vara en kvasi-manifold är det nödvändigt och tillräckligt att den samtidigt är lokalt stängd, multiplikativt stängd (innehåller vilken kartesisk produkt som helst av dess system) och innehåller ett identitetssystem. Lokal och multiplikativ stängning för denna funktion kan på motsvarande sätt ersättas av stängning under filtrerade produkter och ärftlighet[ förtydliga ] [6] .

Konstitutiva relationer

Gratis kompositioner

Gitter av kvasivarieteter

Historik

Det första resultatet av tillämpningen av kvasiidentiteter i allmän algebra anses vara resultatet av Anatolij Maltsev 1939 [7] , där en oändlig serie av kvasiidentiteter konstruerades, vilket kännetecknar klassen av semigrupper som är inbäddade i grupper . I en artikel från 1943 av Chen McKinsey 8] kopplade han några algoritmiska algebraproblem med kvasiidentiteter, och ett av resultaten av Robert Dilworths lösning 1945 [ 9] av problemet med existensen. av icke-distributiva gitter med ett enda komplement var beviset på det faktum att kvasivarieteter har fria system.

Novikovs (1955) teorem om oavgörbarheten av problemet med ordlikhet i grupper betyder faktiskt att Horn gruppteorin inte kan avgöras, d.v.s. den kan också hänföras till resultat relaterade till kvasivarieteter.

Framväxten av teorin om kvasivarieteter som en oberoende gren av universell algebra hänvisar till verk av Maltsev, Tabata och Fujiwara i slutet av 1950-talet och början av 1960-talet. Maltsevs rapport vid International Congress of Mathematicians 1966 i Moskva, där några viktiga problem relaterade till kvasivarieteter formulerades, bidrog till att matematikernas intresse för denna gren ökade [10] .

Ett särskilt uppsving av intresse för teorin om kvasivarieteter manifesterade sig på 1970-talet, när Horns logik började användas i stor utsträckning inom logisk programmering (främst i verk relaterade till programmeringsspråket Prolog ) och i databasteori .

Anteckningar

↑ Gorbunov, 1999 , Den grundläggande skillnaden är att algebror studeras i teorin om varieteter, medan godtyckliga algebraiska system studeras i teorin om kvasi-varieteter, sid. viii.
↑ Maltsev, 1970 , sid. 268.
↑ Maltsev, 1970 , sid. 269-270.
↑ Maltsev, 1970 , sid. 270.
↑ Maltsev, 1970 , sid. 271.
↑ Maltsev, 1970 , Theorem 2, Corollary 3, sid. 271-272.
↑ Maltsev A.I. Om inkluderingen av associativa system i grupper // Matematisk samling. - 1999. - T. 6 , nr 2 . - S. 331-336 .
↑ McKinsey J. Beslutsproblemet för vissa klasser av meningar utan quqntifiers // Journal of Symbolic Logic. - 1943. - T. 8 . - S. 61-76 .
↑ R.P. Dilworth. Gitter med unika komplement // Transactions of American Mathematics Society. - 1945. - T. 56 . - S. 123-154 .
↑ Gorbunov, 1999 , sid. vii-viii.

Litteratur

Gorbunov V. A. Algebraisk teori om kvasivarieteter. - Novosibirsk : Vetenskaplig bok, 1999. - 368 s. — (Sibiriska skolan för algebra och logik). - ISBN 5-88119-015-7 .
Aratmonov V.A.; Saliy V.N.; Skornyakov L. A.; Shevrin L.N.; Shulgeifer E. G. Universal algebra // Allmän algebra / under allmän redaktion av Skornyakov L. A. . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referens matematiskt bibliotek). — 25 500 exemplar. — ISBN 5-02-014427-4 .
Maltsev AI algebraiska system. — M .: Nauka , 1970. — 392 sid. - 17 500 exemplar.