Universal algebra

Universell algebra är en gren av matematiken som studerar de allmänna egenskaperna hos algebraiska system , genom att använda likheterna mellan olika algebraiska strukturer - grupper, ringar, moduler, gitter, introducera begrepp som är inneboende i dem alla och upprätta påståenden som är gemensamma för dem alla. Det upptar en mellanposition mellan matematisk logik och allmän algebra , som en realiseringsapparat för matematisk logik som tillämpas på allmänna algebraiska strukturer.

Det centrala konceptet är ett algebraiskt system , ett objekt med maximal generalitet, som omfattar en betydande del av varianterna av algebraiska strukturer ; över detta objekt kan begreppen homomorfism och faktorsystem konstrueras, genom att generalisera motsvarande konstruktioner från teorierna om grupper, ringar, gitter och så vidare. En utvecklad riktning i avsnittet är studiet av klasser av axiomatiserbara algebraiska system, i första hand sådana som definieras av sortens identiteter (inklusive fria algebror ), och definieras av kvasi-identiteterna för kvasi -varieteten . I den matematiska ämnesklassificeringen tilldelas en sektion på toppnivå till universell algebra 08.

Historik

Det första omnämnandet av en gren av matematiken med detta namn hänvisar till Alfred Whitehead (hans "Treatise on universal algebra, with applications" [1] publicerades 1898 ) [2] , dock framväxten av en separat disciplin som studerar algebraiska strukturer eftersom godtyckliga uppsättningar med godtyckliga uppsättningar av operationer och relationer är förknippad med Garrett Birkhoffs arbete 1935 [3] [4] , inom ramen för sitt arbete med gitterteori , uppmärksammade han ett antal parallella konstruktioner som används i teorin av grupper och ringar : homomorfismer , faktorgrupper och faktorringar , normala undergrupper och tvåsidiga ideal . Birkhoffs arbete framkallade inte publicerade svar och utveckling på en tid, men 1940 -talet markerade uppkomsten av en viss "folklore" förknippad med ett sådant universellt förhållningssätt till algebra, i synnerhet beskrevs tillvägagångssättet i föreläsningar i slutet av 1940-talet av Philip Hall . Hall ) vid University of Cambridge [2] .

Nästa steg mot skapandet av universell algebra som en gren av matematiken är Alfred Tarskis arbete om modellteori och Kenjiro Shoda om algebror med binära operationer , samt arbetet av Leon Genkin [5] , Anatoly Maltsev [6] , Abraham Robinson [7] , Bjarni Jonsson ( Isl. Bjarni Jónsson ) [8] , som uppmärksammade effektiviteten av att tillämpa den matematiska logikens apparatur, som användes inom ramen för teorin om modeller som byggdes under dessa år , på studien av algebraiska system som strukturer som generaliserar modeller och algebror. Samtidigt noterades Maltsevs arbete från 1941 [9] som att förutse en logisk inställning till universell algebra, men fick inga svar och utveckling i tid på grund av kriget , och Tarskis föreläsning vid International Congress of Mathematicians 1950 noterades som utgångspunkten för den andra utvecklingsperioden för sektionen [10] .

Sedan slutet av 1950-talet har riktningen att utforska fria algebror utvecklats , främst på grund av Edvard Marchevskys arbete och den efterföljande serien med mer än femtio artiklar av polska matematiker i denna riktning [11] . I mitten av 1950-talet introducerade och studerade Philip Higgins multioperatorgrupper [12] [13] som strukturer där föreställningen om en kommutator kan generaliseras och vilken kongruens som helst kan representeras som en nedbrytning till cosets i ideal (i analogi med motsvarande egenskaper hos en normal undergrupp och en dubbelsidig idealring), senare specialklasser av multioperatorgrupper (multioperatorringar och algebror) studerades också.

Sedan början av 1960-talet har teorin om kvasivarieteter och frågor om deras samband med axiomatiserbara klasser av algebraiska system utvecklats (Maltsev, Gorbunov ), den snabbast utvecklande riktningen i början av mitten av 1970-talet var studiet av varianter av kongruenser. (Bjarni Jónsson, Gretzer).

År 1968 inkluderade bibliografin om universell algebra mer än 1 000 artiklar, 1980 mer än 5 000; under perioden 1976 till 1988 publicerades 2 tusen verk [14] .

Under andra hälften av 1970-talet uppstod tillämpningar av universell algebra inom datavetenskap - teorin om abstrakta datatyper , teorin om databashanteringssystem [15] , tillämpningar är huvudsakligen uppbyggda kring begreppet mångsorterade algebror . Bland huvudområdena som utvecklades mest aktivt under 1980-1990-talen [16] är teorin om kvasvarieteter, teorin om kommutatorer för mångfald av kongruenser och teorin om naturlig dualitet . På 2000-talet fick en separat riktning intensiv utveckling - universell algebraisk geometri , generaliserande klassisk algebraisk geometri , arbetande med algebraiska fält , till bredare klasser av algebraiska system [17] .

Algebraiska system, algebror och modeller

Det grundläggande studieobjektet för avsnittet är ett algebraiskt system - en godtycklig icke-tom uppsättning med en given (möjligen oändlig) uppsättning finita-matrisoperationer på sig och finita-matrisrelationer: , , . Uppsättningen i det här fallet kallas systemets bärare (eller huvuduppsättning ), uppsättningen funktionella symboler och predikatsymboler med deras ariteter är dess signatur . Ett system med en tom uppsättning relationer kallas en universell algebra (i ämneskontexten - oftare bara en algebra ), och med en tom uppsättning operationer - en modell [18] eller ett system av relationer , ett relationssystem [19] . ${\mathfrak {A}}=\langle A,\;F,\;R\rangle$ $F=\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A,\;\ ldots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1)),\;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i)),\;\ldots \rangle$ $A$ $\langle F,\;R,\;\langle n_{1},\;\ldots n_{i},\;\ldots \rangle ,\;\langle m_{1}\ldots m_{i} ,\;\ldots \rangle \rangle$

Alla grundläggande allmänna algebraiska strukturer passar in i denna abstraktion, till exempel är en partiellt ordnad mängd ett relationssystem försett med en binär partiell ordningsrelation, och en grupp är en algebra utrustad med en nolloperation [20] som väljer ett neutralt element , en unär operation för att erhålla ett inverst element och en binär associativ operation.

På grund av det faktum att vilken operation som helst kan representeras som en dimensionell relation , kan alla algebraiska system studeras som modeller, med hjälp av modellteoretiska verktyg [21] . $n$ $f\colon A^{n}\to A$ $(n+1)$ $\mathrm {r} f=\{\langle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n},\;a_{n+1}\rangle \mid a_{n+1}= f(a_{1},\;\ldots ,\;a_{n})\}$

Grundläggande mönster

För algebraiska system introduceras konstruktioner som är karakteristiska för alla grundläggande allmänna algebraiska strukturer: ett subsystem ( subalgebra , submodel ), som en delmängd av systemets bärare, stängt med avseende på alla operationer och relationer, homomorfism av system, som mappningar mellan system av samma typ, bevara de grundläggande operationerna och relationerna, isomorfism , som en inverterbar homomorfism, automorfism som en isomorfism på sig själv. Införandet av begreppet kongruens som en stabil ekvivalensrelation på ett system gör det möjligt att konstruera en sådan konstruktion som ett faktorsystem ( faktoralgebra , faktormodell ) - ett system över ekvivalensklasser. Samtidigt bevisas homomorfismsatsen , som är gemensam för alla algebraiska system, som anger att för varje homomorfism är den naturliga kartläggningen av faktorsystemet med avseende på kärnkongurensen en homomorfism , och i fallet med algebror. , det är en isomorfism . $\varphi \colon {\mathfrak {A}}(A,\;\Sigma )\to {\mathfrak {A}}'(A',\;\Sigma )$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\{(x,\;y)\in A\times A'\mid \varphi (x)=\varphi (y)\))$ ${\mathfrak A}'$

Alla delsystem i ett algebraiskt system bildar ett komplett gitter , dessutom är alla algebraiska gitter (det vill säga ett gitter, vars varje element kan representeras som den minsta övre gränsen av dess kompakta element) isomorft till gittret av subalgebra för vissa universell algebra [22] . Grupper av automorfismer av algebraiska system [23] , kongruensgitter studerades . I synnerhet är det visat att för alla grupper och gitter och det finns en universell algebra sådan att , , . $\mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$ $G$ $L_0$ $L_{1}$ $\mathfrak A$ $G\cong \mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}$ $L_{0}\cong \mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}$ $L_{1}\cong \mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$

Över en familj av algebraiska system av samma typ definieras en direkt produkt som ett system vars operationer och relationer är koordinatmässigt definierade på den kartesiska produkten av bärare: det vill säga för - , och för - . Direkta produktprojektioner är naturliga surjektiva homomorfismer som återställer operationer och relationer i produktens komponenter. Den kartesiska graden av ett algebraiskt system är en direkt produkt med sig själv: ; gitter av kongruenser av en algebra i denna mening kan anses gå in i gitter av subalgebra av dess kartesiska kvadrat , dessutom har det fastställts att det är ett komplett subgitter i den [24] . $\prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}(A_{i},\;\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A,\;\ldots \rangle ,\;\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}}, \;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\;\ldots \rangle )}$ $f_{k}\colon (\prod _{i\in I}A_{i})^{n_{k}}\to \prod _{i\in I}A_{i}$ $f_{k}(\langle \ldots a_{i,\;1}\ldots \rangle ,\;\ldots ,\;\langle \ldots a_{i,\;n_{k))\ldots \ rangle )=\langle \ldots ,\;f(a_{i,\;1},\;\ldots a_{i,\;n_{k}}),\;\ldots \rangle$ $r_{k}\subseteq (\prod _{{i\in I}}A_{i})^{{n_{k}}}$ $\{\langle \ldots ,\;r(a_{i,\;1},\;\ldots ,\;a_{i,\;k}),\;\ldots \rangle \mid a_{ i,\;j}\in A_{i},\;i\in I,\;1\leqslant j\leqslant k\}$ $\pi _{k}\colon \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}}\to {\mathfrak {A}}_{k}$ ${\mathfrak A}^{n}=\prod _{{i=1}}^{n}{{\mathfrak A}_{i}}$ $\mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}^{2}$

Sorter

En mängd algebraiska system (eller en ekvationsklass ) är en klass av algebraiska system med en fast signatur, axiomatiserade av en uppsättning identiteter uttryckta i signaturtermer, detta koncept generaliserar sådana speciella axiomatiskt givna klasser av algebror som klassen för alla semigrupper, klassen för alla grupper, klassen för alla ringar. Grunden för att studera en sådan generaliserad konstruktion som en sort är Birkhoff-satsen , som säger att för att en icke-tom klass av algebraiska system ska kunna axiomatiseras av identiteter, är det nödvändigt och tillräckligt att den innehåller: ${\mathfrak {K}}$

Kartesisk produkt av en godtycklig sekvens (var multiplikativt stängd); ${\mathfrak {K}}$
vilket delsystem som helst av ett godtyckligt -system (det var ärftligt); ${\mathfrak {K}}$
den homomorfa bilden av vilket system som helst (var homomorfiskt stängd) [25] . ${\mathfrak {K}}$

Det tredje villkoret motsvarar att vara stängd med avseende på faktorsystem.

I studier om universell algebra studeras grenrörens strukturella egenskaper och frågorna om nedsänkbarhet av system av ett grenrör i system i ett annat i detalj. Subvarieteter för en given ekvationsklass bildar ett gitter genom inkludering, och egenskaperna hos sådana gitter av sorter är olika, i synnerhet är gittret för alla varianter av gitter distributivt och har kontinuumets kardinalitet , och gittret för alla varianter av grupper är modulär , men är inte distributiv.

Förutom varieteter, är sådana mer allmänna klasser av system som prevarieteter (replika-kompletta klasser), som är klasser som är stängda med avseende på subalgebras och kartesiska produkter, innehållande ett enelementsystem och kvasvarietiteter , axiomatiserade av en uppsättning kvasiidentiteter ( definieras av Horn-satser ), och även ändligt slutna varianter av sorter och kvasi-varianter är pseudo -varieteter och pseudo-kvasi- varieteter .

Fria algebror

Specialalgebror

Kategorier av algebraiska system

Applikationer

Anteckningar

↑ Whitehead, Alfred North. En avhandling om universell algebra, med tillämpningar . - Cambridge : Cambridge University Press , 1898. - 547 sid.
↑ 1 2 Kohn, 1969 , sid. elva.
↑ Maltsev, 1970 , sid. 7.
↑ Gretzer, 2008 , Även om Whitehead insåg behovet av universell algebra, hade han inga resultat. De första resultaten publicerades av G. Birkhoff på trettiotalet, sid. vii.
↑ Henkin L. Några sammankopplingar mellan modern algebra och matematisk logik // Transactions of the American Mathematical Society . - 1953. - Vol. 74 . - s. 410-427 . — ISSN 0002-9947 . Arkiverad från originalet den 21 september 2015.
↑ A. I. Maltsev. Om den allmänna teorin om algebraiska system // Matematisk samling . - 1954. - T. 35 , nr 77 . - S. 3-20 . (ryska)
↑ Abraham Robinson. Anmärkning om en inbäddningssats för algebraiska system // Journal of the London Mathamtical Society . - 1955. - Vol. 30 . - S. 249-252 .
↑ Bjarni Jonsson. Universella relationssystem (engelska) // Mathematica Scandinavica. - 1957. - Nej . 5 . - S. 224-229 . — ISSN 0025-5521 .
↑ Maltsev A.I. Om en allmän metod för att erhålla lokala teorem för gruppteori // Vetenskapliga anteckningar från Ivanovo State Pedagogical Institute. Serie av fysiska och matematiska vetenskaper. - 1941. - T. 1 , nr 1 . - S. 3-20 .
↑ Gretzer, 2008 , Mal'cevs tidning från 1941 var den första, men den gick obemärkt förbi på grund av kriget. Efter kriget började A. Tarski, LA Henkin och A. Robinson arbeta inom detta område och de började publicera sina resultat omkring 1950. A. Tarskis föreläsning vid International Congress of Mathematicians (Cambridge, Massachusetts, 1950) kan betraktas som som början av den nya perioden., sid. viii.
↑ Gretzer, 2008 , Marczewski betonade vikten av baser för fria algebror; han kallade dem oberoende uppsättningar. Som ett resultat var Marczewski, J. Mycielski, W. Narkiewicz, W. Nitka, J. Plonka, S. Swierczkowski, K. Urbanik och andra ansvariga för mer än 50 artiklar om den algebraiska teorin om fria algebror, sid. viii.
↑ Higgins PJ- grupper med flera operatörer // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1956. - Vol. 6 , nr. 3 . - s. 366-416 . - doi : 10.1112/plms/s3-6.3.366 .
↑ Kurosh A. G. Föreläsningar om allmän algebra / ed. O. N. Golovin - 2:a uppl. — M .: Nauka , 1973. — 400 sid. — ISBN 978-5-8114-0617-3
↑ Allmän Algebra, 1991 , sid. 45.
↑ Plotkin B. I. Universal algebra, algebraisk logik och databaser. — M .: Nauka, 1991. — 448 sid. - 3960 exemplar. — ISBN 5-02-014635-8 .
↑ Gretzer, 2008 , sid. 584.
↑ Den ryska vetenskapsakademins presidium beslutade (oktober-november 2007) // Bulletin of the Russian Academy of Sciences. - 2008. - T. 78 , nr. 3 . - S. 286 . Arkiverad från originalet den 9 december 2014.
↑ Maltsev, 1970 .
↑ Gretzer, 2008 , sid. åtta.
↑ Det antas att $A^{0}=\varnothing$
↑ Allmän Algebra, 1991 , sid. 313.
↑ Gretzer, 2008 , sats 2, sid. 48.
↑ Plotkin B. I. Automorfismgrupper av algebraiska system. — M .: Nauka , 1966. — 603 sid. - 6000 exemplar.
↑ Allmän Algebra, 1991 , sid. 302.
↑ Maltsev, 1970 , s. 337-339.

Litteratur

Artamonov V. A. . Kapitel VI. Universal Algebras // Allmän algebra / Ed. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Referens matematiskt bibliotek). — 25 000 exemplar. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Kon P. Universal Algebra. - M .: Mir , 1969. - 351 sid.
Maltsev AI algebraiska system. — M .: Nauka , 1970. — 392 sid. - 17 500 exemplar.
Gratzer, George. Universal algebra. — 2:a. - Springer , 2008. - 585 sid. — ISBN 978-0-387-77486-2 .

Matematikens grenar

Portal "Science"

Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementär algebra	Ekvationslösning
Linjär algebra	Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra
Allmän algebra	Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori

Analys
Klassisk analys	Differentialkalkyl Integralkalkyl
Funktionsteori	Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl
Differentialekvationer och integralekvationer	Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer
Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys

Geometri och topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Tillämpad matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori

Portalen "Matematik"
Kategori "Matematik"