Clausius ojämlikhet

Clausius ojämlikhet (1854): Mängden värme som tas emot av ett system i en cirkulär process, dividerat med den absoluta temperaturen vid vilken den togs emot ( den reducerade mängden värme ), är icke-positiv.

\circ \sum \limits _{i=1}^{N}{{Q_{i}} \över {T_{i}}}\leq 0.

Här betecknar tecknet en cirkulär process. Mängden värme som tillförs, kvasistatiskt mottagen av systemet, beror inte på övergångsvägen (den bestäms endast av systemets initiala och slutliga tillstånd) - för kvasistatiska processer förvandlas Clausius-ojämlikheten till en jämlikhet [1] . $\cirkel$

\circ \sum \limits _{i=1}^{N}\left({{Q_{i}} \över {T_{i}}}\right)_{QuazistaticProcess}=0.

Slutsats

Specialfall: två värmebehållare

Låt systemet kommunicera med termiska reservoarer och temperaturer resp . Det spelar ingen roll vilken av dem som är en värmare och vilken som är ett kylskåp (riktningen för värmeöverföringen bestäms av tecknet - positivt om det tas emot av systemet och negativt annars). Enligt den andra Carnot-satsen är effektiviteten hos Carnot-cykeln maximal; utförs för systemet . Detta innebär ett specialfall [2] av Clausius-ojämlikheten: $jag$ $R_{1}$ $R_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $jag$ $1-{{Q_{2}} \over {Q_{1}}}\leq 1-{{T_{2}} \over {T_{1}}}$

{{Q_{1}} \over {T_{1}}}+{{Q_{2}} \over {T_{2}}}\leq 0.

(För en reversibel process, särskilt för en Carnot-cykel, gäller jämlikheten.)

Allmänt fall: många termiska reservoarer

För att erhålla Clausius-ojämlikheten i allmän form kan vi överväga att system A arbetar med n temperaturreservoarer och tar emot värme från dem . Ytterligare en temperaturreservoar införs . Mellan honom och resten av stridsvagnarna lanseras Carnot-maskiner – en för varje. $T_{i}$ $Q_{i}$ $T_{0}$

Genom ovanstående likhet, för ett reversibelt system med två reservoarer,

{{Q_{0i}} \over {T_{0}}}+{{Q'_{i}} \over {T_{i}}}=0\Rightarrow Q_{0}=\summa \ gränser _{i=1}^{n}{Q_{0i}}=-T_{0}\summa \limits _{i=1}^{n}{{Q'_{i}} \över {T_ {i}}}.

Carnot-cykler utförs på ett sådant sätt att de överför lika mycket värme till reservoarerna som de överförs till system A

Q'_{i}=-Q_{i}.

Sedan

Q_{0}=T_{0}\sum \limits _{i=1}^{n}{{Q_{i}} \över {T_{i}}}.

Denna värme kommer att avges av temperaturreservoaren , medan tillståndet för de andra reservoarerna återgår till sitt ursprungliga tillstånd. Därför är den övervägda processen ekvivalent med processen för värmeöverföring från temperaturbehållaren till system A, och den inställda "system A - behållare " är termiskt isolerad. Därför, enligt termodynamikens första lag , har system A fungerat . Enligt Thomsons formulering av termodynamikens andra lag kan detta arbete inte vara positivt. Därför är Clausius-ojämlikheten i allmän form uppenbar: $T_0$ $Q_0 = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \över {T_i }}}$ $T_0$ $T_{0}$ $Q_0 = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \över {T_i }}}$

\sum \limits _{i}^{}{{Q_{i}} \över {T_{i}}}\leq 0.

Konsekvenser

Clausius-ojämlikheten tillåter oss att introducera begreppet entropi [3] .

Entropin för ett system är en funktion av dess tillstånd, definierat upp till en godtycklig konstant. Skillnaden i entropi i två jämviktstillstånd 1 och 2 är per definition lika med den reducerade mängden värme som måste tillföras systemet för att överföra det från tillstånd 1 till tillstånd 2 längs vilken som helst kvasistatisk väg.

{S_{\rm {2}}-S_{\rm {1}}=\int \limits _{{\rm {1}}\to {\rm {2}}}{{\delta Q } \över T}}.

Clausius-ojämlikheten och definitionen av entropi innebär direkt motsvarigheten till termodynamikens andra lag

Lagen om icke-minskande entropi . Entropin i ett adiabatiskt isolerat system antingen ökar eller förblir konstant.

Anteckningar

↑ Sivukhin D.V. Allmän kurs i fysik. - M . : Nauka , 1975. - T. II. Termodynamik och molekylär fysik. — 519 sid.
↑ Landau L. D. , Lifshits E. M. Statistisk fysik. Del 1. - (" Teoretisk fysik ", volym V).
↑ Kirichenko N. A. 1.3.8. Clausius ojämlikhet // Termodynamik, statistisk och molekylär fysik. - 3:e uppl. - M. : Fizmatkniga, 2005. - S. 28-29. — 176 sid. - ISBN 5-89155-130-6 .