Frobenius ojämlikhet

I linjär algebra är Frobenius-ojämlikheten följande ojämlikhet för raden av matriser :

\mathrm {rank} \,AB+\mathrm {rank} \,BC\leqslant \mathrm {rank} \,ABC+\mathrm {rank} \,B.

I denna ojämlikhet, dimensionerna av matriserna , och måste tillåta existensen av en matris (dvs dessa matriser har dimensioner , och , respektive). $A$ $B$ $C$ $ABC$ $i\times j$ $j\times k$ $k\times l$

Ojämlikheten är uppkallad efter matematikern F. G. Frobenius , som upptäckte den .

Första beviset

Om och , då . $U\subset V$ $X:V\högerpil W$ $\dim \mathrm {Ker} \,X_{U}\leqslant \dim \mathrm {Ker} \,X=\dim V-\dim \mathrm {Im} \,X$

Låt oss skriva denna ojämlikhet för : $U=\mathrm {Im} \,BC,V=\mathrm {Im} \,B,X=A$

\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,B}=\dim \mathrm {Im} \,B-\dim \mathrm {Im} \,AB

Det är också tydligt att [1] . $\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,BC}=\dim \mathrm {Im} \,BC-\dim \mathrm {Im} \,ABC$

Andra beviset

Tänk på blockmatrisen

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}

Om vi applicerar en kedja av elementära transformationer på en matris, ändrar de, som bekant, inte matrisens rangordning. $M$

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&0\\AB&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&-BC \\AB&0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}

Sedan $\mathrm {rank} \,B+\mathrm {rank} \,ABC=\mathrm {rank} \,M=\mathrm {rank} {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}} \geqslant \mathrm {rank} {\begin{pmatrix}BC&0\\0&AB\end{pmatrix}}=\mathrm {rank} \,AB+\mathrm {rank} \,BC$

Anteckningar

↑ Problem och satser för linjär algebra, 1996 , sid. 73.

Litteratur

Carl D Meyer. Matrisanalys och tillämpad linjär algebra
Prasolov VV Problem och satser för linjär algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 sid. - ISBN 5-02-014727-3 .