Nomogram

Nomogram (från annan grekisk νόμος - lag och γράμμα - bokstav) - grafisk representation av en funktion av flera variabler , vilket gör det möjligt att använda enkla geometriska operationer (till exempel applicera en linjal) för att utforska funktionella beroenden utan beräkningar. Lös till exempel en andragradsekvation utan att använda formler.

Nomografi

Geometriska representationer av beroenden mellan variabler, vilket eliminerar beräkningar, har varit kända under lång tid. Utvecklingen av teorin om nomografiska konstruktioner började på 1800-talet. Teorin om att konstruera rätlinjiga rutnätsnomogram skapades först av den franske matematikern L. L. Lalanne (1843). Grunderna för den allmänna teorin om nomografiska konstruktioner gavs av M. Okan (1884-1891) - i hans verk dök termen "nomogram" först upp , etablerad för användning 1890 av International Congress of Mathematicians i Paris. N. M. Gersevanov (1906-1908) var den förste som arbetade på detta område i Ryssland ; då - N. A. Glagolev , som skapade den sovjetiska nomografiska skolan .

Det speciella med nomogram är att varje ritning visar ett givet område för förändring av variabler och vart och ett av värdena för variabler i detta område visas på nomogrammet av ett visst geometriskt element (punkt eller linje); bilder av värdena för variabler relaterade till funktionellt beroende är på nomogrammet i en viss överensstämmelse, gemensam för nomogram av samma typ.

Nomogram kännetecknas av metoden för att visa värdena för variabler (prickar eller linjer) och genom metoden för att ställa in överensstämmelsen mellan bilderna av variabler. De vanligaste nomogrammen är:

från inriktade punkter För ekvationer med tre variabler används tre skalor, som är konstruerade så att de tre punkter som uppfyller ekvationen ligger på samma räta linje - därav namnet på typen av nomogram. Det var med dem som utvecklingen av nomografi började - en gren av matematiken som kombinerar teori och praktiska metoder för att konstruera nomogram. maska För att bygga rutnätsnomogram från raka linjer används funktionella rutnät, de enklaste av dessa är logaritmiska och semilogaritmiska. Förutom en rak linje kan andra så kallade resolving nomogram-index användas : cirklar (Godsel), en godtycklig kurva (Schwerdt), ben av en ritningsruta (Sigler), etc. transparent I det enklaste fallet består det av två plan - huvudplanet och transparensen - med bilder av variabler på dem. Bannern är ofta gjord av transparent material. Ett exempel på ett transparent nomogram är en linjal .

När du konstruerar rutnätsnomogram kan en ytterligare uppgift ställas in, anamorfos : att hitta en sådan transformation där alla tre familjer av linjer i nomogrammet förvandlas till linjefamiljer, vilket förenklar ritningen.

För ekvationer med många variabler används sammansatta nomogram, bestående av nomogram sammankopplade med vanliga skalor eller linjefamiljer.

Exempel

Parallellt motstånd / tunna linser

Nomogrammet i figuren låter dig beräkna

Nomogrammet är intressant eftersom det tillåter användbara icke-linjära beräkningar med en rak linje på linjärt graderade skalor.

A och B mäts på den horisontella och vertikala skalan, och resultatet avläses på diagonalskalan. Formeln är proportionell mot det harmoniska medelvärdet av talen A och B och har flera tillämpningar. Till exempel motståndet hos ledare som är parallellkopplade i elektriska nätverk och ekvationen för tunna linser i optik .

I figuren visar den röda linjen att med en parallellkoppling av resistanser på 56 och 42  ohm kommer kretsens motstånd att vara 24 ohm. Nomogrammet visar också att ett föremål på ett avstånd av 56 cm från en lins med en brännvidd på 24 cm bildar en optisk bild på ett avstånd av 42 cm.

Chi-kvadrat nomogram

Nomogrammet i figuren kan användas för att approximera några av de kvantiteter som behövs för att beräkna det välkända Pearson's goodness-of-fit-testet . Detta nomogram visar användningen av böjda skalor med icke-linjära graderingar.

Motsvarande uttryck är:

Skalan överst motsvarar fem olika intervall av observerade värden - A, B, C, D och E. Det observerade värdet söks bland dessa värden och en etikett väljs ovanför. Därefter väljs det förväntade värdet på motsvarande böjda skalor. Till exempel, för ett observerat värde på 9, väljs en etikett framför siffran 9 i intervall A, och skalkurvan A används för det förväntade värdet. För ett observerat värde på 81 kommer ett märke över 81 i E-intervallet att användas och en E-skalkurva för det förväntade värdet. Detta gör att flera nomogram kan passa in i ett diagram.

I figuren visar den blå linjen beräkningen

(9 − 5) 2/5 = 3,2,

och den röda är beräkningen

(81 - 70) 2/70 = 1,7.

Yates-korrigeringen används ofta för att utföra testet  - subtrahera helt enkelt 0,5 från de observerade värdena. Nomogrammet för det Yates-korrigerade testet kan konstrueras genom att helt enkelt flytta varje "observations"-skala en halv enhet åt vänster, så att istället för 1,0, 2,0, 3,0, ..., ser värdena ut att vara 0,5, 1,5 , 2,5 , ….

Se även

Litteratur

Länkar