Normaliseringsfaktor

Normaliseringsfaktorn är en faktor med vilken det matematiska uttrycket multipliceras så att varje signifikant parameter därefter är lika med 1. Valet av normaliseringsfaktor kallas normalisering ( normalisering ).

Oftast menar vi situationen när en icke-negativ funktion eller alla medlemmar i en talserie multipliceras med normaliseringsfaktorn så att funktionens integral över definitionsdomänen eller summan av termerna i serien är lika med ett. Då är faktorn ett positivt tal eller ett algebraiskt uttryck oberoende av funktionsargumenten. En liknande normaliseringsprocedur används inom sannolikhetsteori och inom olika fysikområden ( statistisk fysik , kvantmekanik , spektrumteori och andra). Efter normalisering kan funktionen betraktas som en distributionstäthet och serien som en distributionsserie .

Men begreppen "normaliseringsfaktor", "normalisering" används också i andra situationer som inte är relaterade till statistik. I det här fallet kan målet med normalisering vara att föra data till något mer bekvämt.

Normaliseringsfaktor i statistik

Uppgifter direkt eller indirekt relaterade till statistik utgör huvudområdet för tillämpning av normaliseringsfaktorer. Den allmänna innebörden är att ställa kravet att den totala sannolikheten för alla möjliga händelser är lika med en [1] .

Normaliseringsprocedur

Om är en icke-negativ funktion definierad på intervallet , då är normaliseringsfaktorn $\phi(x)$ ${\displaystyle x_{1}\ldots x_{2))$ $A$

A=\left[\int _{x_{1}}^{x_{2}}\phi (x)\,dx\right]^{-1}

i detta fall kommer funktionen att normaliseras. Normaliseringen utförs på liknande sätt i det flerdimensionella fallet. $f(x)=A\cdot \phi (x)$

Om ( ) är medlemmar av en icke-negativ numerisk serie, återfinns normaliseringsfaktorn som $p(x_{n})$ $n=1,\,\,2,\ldots$ $A$

{\displaystyle A=\left[\sum \limits _{n}p(x_{n})\right]^{-1))

i detta fall kommer sekvensen att ha betydelsen av en distributionsserie, det vill säga en lista över sannolikheter för att realisera ett diskret värde . $P(x_{n})=A\cdot p(x_{n})$ $x_{n}$

Behovet av normalisering

De mest betydande och ofta förekommande fördelningarna är som regel redan registrerade med normalisering, det vill säga inga ytterligare procedurer krävs. Till exempel har normalfördelningen av en kvantitet (med en standardavvikelse ) den analytiska formen $x$ $\sigma$

f(x)=A\cdot \exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)={\frac {1}{{\ sqrt {2\pi }}\sigma }}\cdot \exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)

Här antas definitionsdomänen och villkoret är uppfyllt. $-\infty \ldots +\infty$ $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=1$

Men i mindre vanliga situationer kan valet av en normaliseringsfaktor krävas. Säg, ibland är det nödvändigt att begränsa definitionsdomänen (till exempel, i exemplet ovan, betrakta domänen inte , men ; då blir det ). Det är inte ovanligt att en fördelning specificeras "upp till en konstant faktor", det vill säga i formen " [uttryck]" och det antas att denna konstanta faktor kommer att hittas genom normalisering. $x$ $-\infty \ldots +\infty$ $-\infty \ldots 0$ $A=2/{\sqrt {2\pi }}\sigma$ $\phi (x)\sim$

Exempel från fysikområdet

Exempel 1 . Maxwell-fördelningen för hastighetsmodulerna för molekyler i en idealgas har formen ( - Boltzmanns konstant, - temperatur, - massa av en molekyl). För att säkerställa normalisering måste normaliseringsfaktorn vara lika med . $\phi (v)\sim v^{2}\cdot \exp(-mv^{2}/2kT)$ $k$ $T$ $m$ $1=\int _{0}^{+\infty }f(v)dv=\int _{0}^{+\infty }A\phi (v)dv$ $A$ ${\displaystyle 4\pi (m/2\pi kT)^{3/2))$

Exempel 2 . Tillståndet för en partikel i kvantmekaniken ges av vågfunktionen . Kvadraten på modulen för denna funktion har betydelsen av sannolikhetstätheten för att detektera en partikel vid punkten ( , , ). I detta fall måste förhållandet uppfyllas , där integrationen utförs över hela den volym som partikeln kan vara i [2] . $\psi (x,\,y,\,z)$ $x$ $y$ $z$ $\iiiint |\psi (x,\,y,\,z)|^{2}dxdydz=1$

Exempel 3 . Det kontinuerliga elektromagnetiska eller akustiska spektrumet kan ges som en funktion (dimension W /m 2 / Hz ), - frekvens, - total intensitet i W/m 2 . I detta fall spelar frekvensfördelningstätheten i spektrumet en roll, och jämlikheten måste hålla . Om spektrumet är diskret kan det specificeras av en uppsättning frekvens-intensitetspar ( , ). I detta fall kommer och frekvensfördelningsserien att bestå av termer , där . $I\cdot g(\nu)$ $\nu$ $jag$ $g(\nu )$ $\int _{0}^{+\infty }g(\nu )d\nu =1$ $\nu _{n}$ $I}$ $\sum _{n}I_{n}=I$ $P(\nu _{n})=I_{n}/I$ $\sum _{n}P(\nu _{n})=1$

Normaliserande faktorer utanför statistiken

Normaliseringsfaktorer används också när det är önskvärt att uppnå att något värde (inte nödvändigtvis betyder total sannolikhet) är lika med ett.

Om du behöver ställa in en riktning är det ofta bekvämare att göra detta med en enhetsvektor i absolut värde, det vill säga, använd inte ( , är orts på planet), men , var är normaliseringsfaktorn. ${\vec {p}}=p_{x}{\vec {e}}_{x}+p_{x}{\vec {e}}_{y}$ $\vec{e}_x$ $\vec{e}_y$ ${\vec {e}}=A\cdot p_{x}{\vec {e}}_{x}+A\cdot p_{x}{\vec {e}}_{y}$ ${\displaystyle A=(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})^{-1/2))$

När du ritar grafer, till exempel , om bara formen på kurvan är viktig, normaliseras ibland värdena med det maximala värdet , nämligen värdena multiplicerat längs ordinatan med normaliseringsfaktorn ; då blir det största vertikala värdet 1. Det övas också på att växla till relativa enheter (längs en eller båda axlarna) genom att multiplicera med något karakteristiskt värde, säg ; en sådan åtgärd kan också kallas normalisering, medan enheten (längs axeln ) motsvarar det karakteristiska värdet. $y(x)$ ${\displaystyle y_{max))$ ${\displaystyle y_{max}^{-1))$ ${\displaystyle x_{0}^{-1))$ ${\displaystyle x/x_{0))$

Normalisering (och följaktligen valet av en normaliseringsfaktor) kan krävas inte bara för ovanstående fysiska fall av vågfunktionen, utan också för egenfunktioner i en bredare klass av problem [3] . $\int |\psi |^{2}dV=1$

Det finns begreppet "normalekvationen för en rät linje " [4] . Dess mer välbekanta ekvation ( , , är konstanter) reduceras till en normal genom att multiplicera med en normaliseringsfaktor , där tecknet är motsatt det för . Efter multiplikation blir summan av kvadraterna av talen framför och enhet. En liknande situation uppstår med " planets normala ekvation ". $Axe+By+C=0$ $A$ $B$ $C$ ${\displaystyle \pm (A^{2}+B^{2})^{-1/2))$ $C$ $x$ $y$

Anteckningar

↑ A. I. Volkovets , A. B. Gurinovich Sannolikhetsteori och matematisk statistik . Minsk, BSUIR (2003), se f-ly: (4.9), (8.7), (10.8).
↑ P. S. Parfenov Kvantmekanik. Metodguide till workshopen om kvantfysik. St Petersburg: ITMO (2012), se 1.1.4. Normalisering av vågfunktioner .
↑ N. N. Vorobyov Serieteori. Moskva: Nauka (1979), se kap. 8 § 3: Normaliserade och ortogonala funktioner .
↑ I. Maltsevskaya Normal (normaliserad) ekvation för en rät linje: beskrivning, exempel, problemlösning , se Zaochniks utbildningstjänst.