Voigt notation

Voigt-notation är en matrisform för att skriva en symmetrisk tensor av 4:e rang. Det föreslogs först av den tyske fysikern Woldemar Voigt för elasticitetstensorn i formuleringen av Hookes lag för anisotropa material.

Notation

Om en 4-rankad tensor har symmetri i det första och andra indexparet: $c_{{ijkl}}$

{\displaystyle c_{ijkl}=c_{jikl))

{\displaystyle c_{ijkl}=c_{ijlk))

sedan kan dess element skrivas som en 6x6 matris med hjälp av följande indexsubstitution:

11\rightarrow 1

22\rightarrow 2

33\rightarrow 3

23,32\rightarrow 4

13.31\rightarrow 5

12,21\rightarrow 6

Till exempel kommer en komponent att motsvara ett matriselement . $c_{3122}$ $C_{52}$

Genom att använda samma indexsubstitutioner kan man skriva rangordna 2 symmetriska tensorer som 6 vektorer. Med denna representation motsvarar resultatet av multiplikation av tensorer, generellt sett, inte resultatet av multiplikation av matriser. För att driften av tensormultiplikation ska skrivas som en matrismultiplikation kan ytterligare faktorer behöva införas.

Matrisnotation av Hookes lag

Hookes lag i tensorform har formen (hädanefter används Einsteins konvention om summering över upprepade index):

{\displaystyle \sigma _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl))

var och är stress- och spänningstensorerna . Eftersom dessa tensorer är symmetriska har elasticitetsmodultensorn den nödvändiga graden av symmetri för att kunna skrivas i matrisform. Dessutom, från förhållandet: $\sigma_{ij}$ ${\displaystyle \varepsilon _{kl))$ $c_{{ijkl}}$

{\displaystyle c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl))))

var finns fri energi $F$ [ förtydliga ] i fallet med isotermisk deformation, eller intern energi vid adiabatisk deformation, följer . Det följer att det bara finns 21 linjärt oberoende komponenter av den elastiska konstanttensorn [1] . Därför kommer matrisen som består av komponenterna att vara symmetrisk. Hookes lag kan skrivas i följande form: ${\displaystyle c_{ijkl}=c_{klij))$ $C_{\alpha \beta }$ $c_{{ijkl}}$

{\displaystyle \sigma _{\alpha }=C_{\alpha \beta }\epsilon _{\beta ))

där index varierar från 1 till 6, eller: $\alfa ,\beta$

{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\ sigma _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1113}&c_{1112}\\\cdot &c_{2222} &c_{2233}&c_{2223}&c_{2213}&c_{2212}\\\cdot &\cdot &c_{3333}&c_{3323}&c_{3313}&c_{3312}\\\cdot &\cdot &c_\c {2323}&c_{2313}&c_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{1313}&c_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{ 1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2 \varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}

I denna notation är koefficienten 2 för komponenterna i töjningstensorn , nödvändig för att matrisekvationerna exakt matchar tensorekvationerna. Till exempel, i Hookes lag, inkluderar ekvationen för komponenten termen , som i matrisnotationen motsvarar termen . $\varepsilon _{23}$ $\varepsilon _{13}$ $\varepsilon _{12}$ $\sigma_{11}$ ${\displaystyle c_{1123}\varepsilon _{23}+c_{1132}\varepsilon _{32))$ $c_{1123}2\varepsilon _{23}$

Hookes lag kan skrivas i en likvärdig tensorform, när det gäller följsamhetsmodulens tensor : ${\displaystyle s_{ijkl))$

{\displaystyle \varepsilon _{ij}=s_{ijkl}\sigma _{kl))

Tensorn kännetecknas av samma grad av symmetri som . Därför kan dess komponenter också skrivas som en matris av 6x6 element. Denna matris kommer dock inte att vara invers mot matrisen . ${\displaystyle s_{ijkl))$ $c_{{ijkl}}$ $C_{\alpha \beta }$

Den omvända matrisekvationen , där , är som följer: ${\displaystyle \epsilon _{\alpha }=S_{\alpha \beta }\sigma _{\beta ))$ $S=C^{-1}$

{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\ \2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1113}&2s_{1112}\\\cdot &s_ {2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2213}&2s_{2212}\\\cdot &\cdot &s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3313}&2s_{3312} &\cdot &\\ctdot &\cdot \cdot &4s_{2323}&4s_{2313}&4s_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &4s_{1313}&4s_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\ cdot &4s_{1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\ \\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{pmatrix}}

Rotationstransformation

Under övergången från det kartesiska koordinatsystemet till det kartesiska koordinatsystemet genom rotation, transformeras komponenterna i tensorn av elastiska konstanter enligt följande formel i enlighet med transformationen av den fjärde rangstensorn [2] : ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3))$ ${\displaystyle x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },x_{3}^{\prime ))$

{\displaystyle C'_{ijkl}=n_{i\alpha }n_{j\beta }n_{k\gamma }n_{l\delta }C_{\alpha \beta \gamma \delta ))

Exempel

Elasticitetstensorn för ett isotropiskt material: de elastiska egenskaperna bestäms av 2 konstanter (i detta exempel, Lame-konstanter och ): $\lambda$ $\mu$

{\begin{pmatrix}\lambda +2\mu &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda +2\mu &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &\lambda +2\ mu &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \\\end{pmatrix}}

Elasticitetstensorn för ett material med hexagonal symmetri: en kropp med hexagonal symmetri kännetecknas av närvaron av en symmetriaxel (i detta fall ), när den roteras runt vilken egenskaperna inte ändras; beskrivs av 5 oberoende elastiska konstanter: $x_{3}$

{\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&0&0&0\\c_{1122}&c_{1111}&c_{1133}&0&0&0\\c_{1133}&c_{3_{1133} }&0&0&0\\0&0&0&c_{2323}&0&0\\0&0&0&0&c_{2323}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{2}}(c_{1111}-c_{1122})\\}\}}{pmatrix

Enhetsmatrisen motsvarar enheten "symmetriserande" tensor : $jag$

I_{ijkl}={\frac {1}{2}}(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})

Anteckningar

↑ Filter på akustiska ytvågor (beräkning, teknik och tillämpning) = Ytvågsfilter: design, konstruktion och användning / Ed. V. B. Akpambetova. - M . : Radio och kommunikation, 1981. - S. 11. - 472 sid. - 5000 exemplar.
↑ Witold Novacky. Teoria Sprezystosci . Panstowe Wydawnitctwo Naukowe (1970). Hämtad 17 december 2019. Arkiverad från originalet 17 december 2019. (obestämd)

Litteratur

M. A. Akivis, V. V. Goldberg. Tensorkalkyl . - M. : Nauka, 1969. - 352 sid.
V. Novatsky. Teori om elasticitet / övers. B. E. Pobedrya . — M .: Mir, 1975. — 871 sid.
T. D. Shermergaard. Teori om elasticitet hos mikroinhomogena medier. - M. : Nauka, 1977. - 399 sid.