Inversion av Laplace-integralen

Låt funktionen för en komplex variabel uppfylla följande villkor: $F$ $p=x+iy$

$F$ — analytisk inom området $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$
i regionen vid likformigt i förhållande till $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $F\to 0$ $|p|\to +\infty$ $\arg p$
integralen konvergerar för alla $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $\int \limits _{xi\infty }^{x+i\infty }\!|F(p)|\,dy$

Då är funktionen för bilden av funktionen för den reella variabeln , som kan hittas av formeln $F$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ $f$ $t$

f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{xi\infty }^{x+i\infty }\!e^{pt}F(p) \,dp,\quad x>a

Denna formel kallas Mellinformeln, och integralen kallas Mellinintegralen (uppkallad efter den finske matematikern Hjalmar Mellin ). I många fall kan Mellin-integralen beräknas med hjälp av rester . Nämligen, om en funktion definierad i domänen analytiskt kan utökas till hela planet för en komplex variabel med ett ändligt antal singulära punkter och dess analytiska fortsättning uppfyller villkoren i Jordan-lemmat , då $F$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p>a$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n))$ $\mathop {\mathrm {Re} } \,p<a$

f(t)=\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{p=p_{k))(e^{pt}F(p))

Se även

Första nedbrytningssatsen
Andra nedbrytningssatsen