Funktion (komplex analys)
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 november 2020; verifiering kräver 1 redigering .En singularitet eller singularpunkt för en holomorf funktion f är en punkt på det komplexa planet där denna funktion inte är definierad, dess gräns är oändlig eller det finns ingen gräns alls.
För analytiska funktioner med flera värden betraktas även förgreningspunkter som singulariteter .
Två klassificeringar av singulära punkter är möjliga. För det första är en klassificering enligt de mängdteoretiska egenskaperna för deras mängd tillåten:
- En isolerad singularis punkt är en punkt för vilken det finns någon punkterad grannskap där denna funktion är analytisk .
- En icke-isolerad singularpunkt är en singularpunkt som inte är isolerad. I det här fallet kan vi prata om den så kallade specialuppsättningen .
Typer av singulariteter
I sin tur kan isolerade funktioner delas in i tre typer:
- En borttagbar singularpunkt är en punkt där funktionen inte är definierad, men gränsen för funktionen vid vilken är ändlig, vid denna punkt kan funktionen utökas med värdet av denna gräns och utökas till en funktion som är analytisk vid denna tidpunkt.
- En pol är en punkt där gränsen för en funktion är oändlig. När man betraktar en funktion som en avbildning inte till det komplexa planet utan till Riemann-sfären , bör polen inte betraktas som någon singulär punkt; se meromorf funktion .
- En väsentlig singularpunkt är en punkt där gränsen för en funktion inte existerar.
Singulariteter på Riemann-ytor
Singulariteter kan också övervägas för holomorfa funktioner definierade på Riemann-ytor . I synnerhet om variabeln z tillåts ta värden inte bara på det komplexa planet, utan på Riemann-sfären , så bestäms singulariteten i oändligheten för funktionen f av graden av "singularitet" för punkten 0 för funktionen .
