Analytisk fortsättning

En analytisk fortsättning i komplex analys är en analytisk funktion som sammanfaller med en given funktion i dess ursprungliga domän C och definieras i domänen D som innehåller C , vilket är en analytisk fortsättning på funktionen . Analytisk fortsättning är alltid unik . $f$ $f$

Konceptet introducerades av Karl Weierstrass 1842 , han utvecklade också motsvarande teknik för att konstruera sådana förlängningar.

Ett specialfall för holomorfa funktioner är holomorf förlängning .

Definition

Unikhet

I vilket fall som helst existerar inte en analytisk fortsättning, men den är alltid unik : två analytiska funktioner som sträcker sig från samma funktion sammanfaller alltid. För holomorfa funktioner (ett specialfall av analytiska funktioner) kan unikhet härledas från följande faktum: om en funktion f är identiskt lika med noll , så är vilken som helst av dess förlängningar noll överallt. Eftersom holomorfa funktioner bildar ett linjärt utrymme är detta tillräckligt för det unika med den holomorfa förlängningen.

Sätt att bygga

Elementära metoder

För de mest elementära funktionerna, såsom potensfunktionen och den exponentiella , är analytisk fortsättning nästan okomplicerad. Detta beror på det faktum att analytisk fortsättning i sådana fall utförs från en uppsättning av en mycket specifik typ, som är den verkliga linjen - denna uppsättning har inte komplexa inre punkter .

För mer komplexa fall används mer konstgjorda metoder. Betrakta till exempel några Taylor -serier som konvergerar i en cirkel , där är konvergensradien för denna serie. Enligt en av de ekvivalenta definitionerna erhålls alltså funktionen analytisk i cirkeln . Vad betyder det? Detta betyder inte att vid någon punkt utanför den resulterande funktionen inte längre kommer att vara analytisk, detta är för närvarande okänt, det betyder helt enkelt att det finns en punkt så att serien divergerar vid denna punkt. Du kan dock välja en viss punkt - eftersom funktionen vid denna punkt är analytisk kan den utökas till en serie som konvergerar i en viss cirkel . Om relationen är uppfylld för den nya konvergensradien , så kommer det redan att finnas punkter som tillhör men inte till , och av detta kommer det i kraft av unikhetssatsen att följa att funktionen, som initialt definieras endast i , utökas till att någon större uppsättning, nämligen till . Om detta inte är möjligt kommer cirkeln att vara den naturliga gränsen för den analytiska fortsättningen. $\Delta _{a}=\{z\kolon |za|<\rho \}$ $\rho$ $\Delta _{a}$ $F Z)$ $\Delta _{a}$ $z_{0}\colon |z_{0}-a|=\rho$ $b\in \Delta _{a}$ $F Z)$ $\Delta _{b}=\{z\kolon |zb|<\theta \}$ $\theta$ $\theta >\rho -|ab|$ $\Delta _{b}$ $\Delta _{a}$ $\Delta _{a}$ $\Delta _{a}\cup \Delta _{b}$ $\partial \Delta _{a}$

För många specialfunktioner utförs analytisk fortsättning med hjälp av någon funktionell ekvation. Ett område tas där lösningen av denna ekvation uppenbarligen är analytisk, och resultaten överförs till ett större område. I grund och botten är fortsättningar av de speciella funktionerna för verklig analys konstruerade på detta sätt - till exempel gammafunktionen och Riemann zetafunktionen .

Analytisk fortsättning längs en kedja av domäner

För att konstruera analytiska fortsättningar i icke-triviala fall används begreppet analytiskt element .

Element och kallas analytisk fortsättning av varandra genom en kedja av domäner om det finns en sekvens av element och följande tre villkor är uppfyllda: $P=(G,f)$ $Q=(H,g)$ $\{\Delta \}_{1}^{n}$ $P_{k}=(G_{k},f_{k}),\,k=0,1,\dots ,n$

$P_{0}=P,\,P_{n}=Q$ ;
För godtyckliga successiva domäner från kedjan är deras skärningspunkt icke-tom och är dess definitiva anslutna komponent; $D_{k}\cap D_{{k+1}}$ $\Delta _{k}$
Elementet är en analytisk fortsättning genom uppsättningen . $P_{{k+1}}$ $P_{k}$ $\Delta _{k}$

En grodd kan betraktas som ett analytiskt element bestående av en konvergenscirkel och en riktig analytisk funktion, summan av en serie. Element av denna typ har sina egna namn - kanoniska element och betecknas som , där är seriens konvergenscirkel och är dess summa. Mitten av konvergenscirkeln för den serie som definierar den kallas centrum för ett kanoniskt element. $(K F)$ $K$ $f$

Analytisk fortsättning längs en väg

För att konstruera en analytisk fortsättning längs vägen till utvecklingen av tekniken för "diskret" konstruktion med avseende på en kedja av domäner, är det nödvändigt att göra en övergång, i en mening som liknar övergången från en sekvens till en funktion.

Vi betraktar ett kanoniskt element centrerat vid en punkt och en kontinuerlig Jordan-kurva ( ) med egenskapen . $P_{0}=(K_{0},f_{0})$ $z=z_{0}$ $\varphi (t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\Gamma =\varphi([0;1])$ $z_{0}=\varphi(0)$

Antag att det finns en familj av kanoniska element med konvergensradier som inte är noll, sådana som är elementets centrum och för en godtycklig finns det en sådan grannskap (förstått i betydelsen grannskap på den verkliga linjen) som uppfyller villkoret ; sedan, om för något elementet är en omedelbar fortsättning på elementet , då anses elementet således vara analytiskt fortsatt längs vägen . $\{P_{t}\}_{{t\in [0;1]}}$ $\varphi (t)$ $P_{t}$ $t_{0}\in [0;1]$ ${{\mathcal U}}_{{t_{0}}}\subset [0;1]$ $\varphi ({{\mathcal U}}_{{t_{0}}})\subset K_{{t_{0}}}$ $t\i {{\mathcal U}}_{{t_{0}}}$ $P_{t}$ $P_{{t_{0}}}}$ $P_0$ $\Gamma$

Familjen av regioner kan väljas godtyckligt, eftersom det kan bevisas att resultatet av analytisk fortsättning inte beror på valet av familjen av regioner.

En ganska intressant egenskap har också en funktion - radien för konvergenscirkeln . För familjen som nämns i definitionen av fortsättning längs en väg kommer funktionen att vara kontinuerlig i betydelsen verklig analys på . $R(t)\kolon [0;1]\till (0;+\infty )$ $K_{{t}}.$ $R(t)$ $[0;1]$

Låt oss anta att det kanoniska elementet erhålls från elementet genom analytisk fortsättning längs någon väg genom den mellanliggande familjen av element . Sedan, om vi väljer någon ökande sekvens av element i segmentet , där cirklarna och kommer att skära varandra, kommer elementet att vara en analytisk fortsättning på elementet genom kedjan av regioner . $F$ $P$ $\varphi (t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\{P_{t}\}_{{t\in [0;1]}}$ $0,t_{1},t_{2},\dots ,t_{n},1$ $[0;1]$ $K_k$ $K_{{k+1}}$ $Q=P_{1}$ $P=P_{0}$ $K_{{t_{1}}},K_{{t_{2}}},\dots ,K_{{t_{n}}}$

Ett av de mest intressanta resultaten kommer att vara satsen om homotopi-invariansen av analytisk fortsättning och dess följd, monodromisatsen .

Fullständig analytisk funktion

Efter att ha utvecklat apparaten för analytisk fortsättning längs vägar, är det nu möjligt att gå från den ursprungliga analytiska funktionen genom analytiska och kanoniska element till ett mer allmänt koncept - den fullständiga analytiska funktionen . Denna term kommer att beteckna uppsättningen av alla kanoniska element som erhållits från varje initialt element genom metoden för analytisk fortsättning med avseende på alla möjliga Jordan-kurvor som tillåter en sådan förlängning och har sitt ursprung i punkten - mitten av elementet . $P$ $z_{0}$ $P$

Den interna strukturen hos ett så mycket abstrakt begrepp förtydligas av Poincaré-Volterra-satsen , som säger att på varje punkt i dess definitionsdomän kan en komplett analytisk funktion ha högst en räknebar uppsättning element centrerade vid denna punkt.

Vikten av begreppet en fullständig analytisk funktion ligger i det faktum att det låter en studera begreppet en singular punkt ur en mer allmän synvinkel . De singulära punkterna för en fullständig analytisk funktion är nämligen helt enkelt punkterna för gränsen för dess definitionsdomän. Beroende på beteendet hos funktionen i närheten av dessa punkter bestäms deras karaktär.

Betrakta någon enskild punkt för en fullständig analytisk funktion och en del av dess punkterade grannskap , som tillhör definitionsdomänen . Vi väljer någon stängd Jordan-kurva . Om analytisk fortsättning längs en kurva resulterar i samma element, kallas punkten en enkelvärdig singularpunkt och tolkas helt enkelt som en isolerad singularpunkt ; om resultatet av analytisk fortsättning redan är ett annat element kallas punkten singular point of a multi-valued character , eller branch point . $z_{0}$ $\mathbf {f}$ ${\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}$ $\mathbf {f}$ $\Gamma \subset {\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}$ $\Gamma$

Hadamards teorem

För kraftserier

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k

för vilka nästan alla koefficienter är lika med noll i den meningen att talföljden av koefficienter som inte är noll uppfyller $k(i)$

\lim_{i\to\infty} \frac{k(i+1)}{k(i)} > 1 + \delta \,

för vissa fasta δ > 0 är cirkeln med centrum z 0 och radie lika med konvergensradien en naturlig gräns — den analytiska fortsättningen av funktionen som definieras av en sådan serie är omöjlig utanför cirkeln.

Generaliseringar och relaterade begrepp

Analytisk fortsättning kan övervägas på domäner inte bara i det komplexa planet, utan också på Riemann-ytor , och, mer generellt, på komplexa grenrör : D måste vara ett komplext grenrör och C en delmängd av det. Om C är en domän i D och för någon domän C′ : C ⊂ C′ ⊂ D' finns det en funktion som är holomorf på C men inte kan utökas till C′ , då kallas C en holomorf domän . I det komplexa endimensionella fallet är varje domän en domän av holomorfi, i det flerdimensionella fallet är detta inte fallet.

Man kan också överväga analytisk fortsättning från mängder C som inte är regioner, till exempel från den verkliga linjen . I detta fall är funktionen f initialt definierad på någon (funktionsberoende) öppen uppsättning innehållande C .

Se även

Litteratur

Evgrafov M. A. Analytiska funktioner. - 2:a uppl., reviderad. och ytterligare — M .: Nauka , 1968 . — 472 sid.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metoder för teorin om funktioner för en komplex variabel. - 4:e uppl. — M .: Nauka , 1972 .
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner för en komplex variabel. — M .: Nauka, 1967. — 304 sid.
Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka , 1969 . — 577 sid.