Riemannsk geometris grundläggande sats

Den grundläggande satsen för Riemannsk geometri säger att det på varje Riemannmanifold (eller pseudo-Riemannan manifold ) finns en unik torsionsfri metrisk anslutning , kallad Levi-Civita-kopplingen av den givna metriken. Här är en metrisk (eller Riemann ) anslutning en anslutning som bevarar den metriska tensorn .

Formulering

Riemannsk geometris grundläggande sats . Låt ( M , g ) vara en Riemann-manifold (eller pseudo-Riemann-manifold ). Sedan finns det en unik affin anslutning ∇ som uppfyller följande villkor:

för alla vektorfält X , Y , Z

\partial _{X}\langle Y,Z\rangle =\langle \nabla _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\nabla _{X}Z\rangle ,

där betecknar derivatan av funktionen längs vektorfältet X .

\partial _{X}\langle Y,Z\rangle

\langle Y,Z\rangle

för alla vektorfält X , Y

\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],

där [ X , Y ] betyder Lie-parentesen för vektorfälten X , Y.

Det första villkoret innebär att den metriska tensorn bevaras under parallell translation och det andra villkoret uttrycker det faktum att vridningen av anslutningen är noll.

En generalisering av grundsatsen säger att det på ett pseudo-riemannskt grenrör existerar en unik koppling som bevarar den metriska tensorn med vilken som helst given vektorvärderad 2-form som sin torsion.

Bevis

Följande tekniska bevis är formeln för Christoffel-symbolerna för anslutningen i det lokala koordinatsystemet. För ett specifikt mått kan detta ekvationssystem bli ganska komplext. Det finns snabbare och enklare metoder för att erhålla Christoffel-symbolerna för ett visst mått, som att använda handlingsintegralen och relaterade Euler-Lagrange-ekvationer.

Låt m vara dimensionen för grenröret M . I vissa lokala kartor, överväg standardkoordinatvektorfälten

{\partial }_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i))},\qquad i=1,\dots ,m

Lokalt har elementet g ij i den metriska tensorn formen

g_{ij}=\left\langle {\partial }_{i},{\partial }_{j}\right\rangle

För att ställa in anslutningen räcker det för alla i , j och k att bestämma

\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle

Kom ihåg att den lokala anslutningen ges av m 3 smidiga funktioner

{\displaystyle \left\{\Gamma ^{l}{}_{ij}\right\))

var

\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{l}\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l}

Vridfri tillståndet betyder det

\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}

Å andra sidan skrivs kompatibilitet med Riemann-måttet som

\partial _{k}g_{ij}=\left\langle \nabla _{\partial _{k))\partial _{i},\partial _{j}\rangle +\langle \partial _ {i},\nabla _{\partial _{k}}\partial _{j}\right\rangle

För fix i , j och k ger permutationerna 3 ekvationer i 6 okända. Antagandet om ingen torsion minskar antalet variabler till tre. Det resulterande systemet med tre linjära ekvationer har en unik lösning

\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle ={\tfrac {1}{2}}\left(\ partiell _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\partial _{j}g_{ik}\right)

Detta är den första Christoffel-identiteten .

Vidare noterar vi det

\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle =\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}

där vi använder Einstein-konventionen , dvs det parade övre och nedre indexet betyder att summering sker över alla värden av detta index. Genom att invertera den metriska tensorn får vi den andra Christoffel-identiteten :

\Gamma _{ij}^{l}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\ partiell _{j}g_{ik}\right)g^{kl}

Den resulterande anslutningen är Levi-Cevita-anslutningen.

Koszuls formel

Ett alternativt bevis på den grundläggande satsen för Riemannsk geometri är att visa att en vridningsfri metrisk anslutning på ett Riemann-grenrör M nödvändigtvis ges av Koszul-formeln :

{\begin{array}{ll}2g(\nabla _{X}Y,Z)&=\,X(g(Y,Z))+Y(g(X,Z))-Z( g(X,Y))\\&\kvadrat +\,g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X),\end {array}}

där vektorfältet verkar på ett naturligt sätt på jämna funktioner på ett Riemannmanifold med formeln . $X$ $Xf=\partial _{X}f$

Antag att anslutningen uppfyller symmetrivillkoren

\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]

och kompatibilitet med måtten

Xg(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)

Sedan kan summan förenklas, vilket leder till Koszul-formeln. $Xg(Y,Z)+Yg(X,Z)-Zg(Y,X)$

I det här fallet bestämmer uttrycket för unikt , och vice versa, Koszul-formeln kan användas för att specificera , på vilket sätt det vanligtvis kontrolleras att kopplingen är symmetrisk och överensstämmer med metriska g [1] . $g(\nabla _{X}Y,Z)$ $\nabla _{X}Y$ $\nabla _{X}Y$ $\nabla _{X}$

Anteckningar

↑ av Carmo, 1992 .

Litteratur

do Carmo, Manfredo (1992), Riemannsk geometri , Mathematics: Theory & Applications, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8