Singular punkt (differentialekvationer)

I matematik är en singularpunkt i ett vektorfält den punkt där vektorfältet är lika med noll. Vektorfältets singularpunkt är jämviktspositionen eller vilopunkten för det dynamiska systemet som definieras av det givna vektorfältet: fasbanan med ursprung i singularpunkten består exakt av denna singularpunkt, och integralkurvan som motsvarar den är en rät linje parallell med tidsaxeln.

I vilket litet område som helst av fasutrymmet som inte innehåller singulära punkter kan vektorfältet rätas ut genom en lämplig förändring av koordinater - sålunda är systemets beteende utanför singulärpunkterna detsamma och mycket enkelt. Tvärtom, i närheten av en singulär punkt kan systemet ha mycket komplex dynamik. På tal om egenskaperna för singulära punkter i vektorfält, menar man vanligtvis egenskaperna för motsvarande system i en liten omgivning av singulära punkten.

Singular punkter av vektorfält på planet

De enklaste exemplen på singulära punkter är singulära punkter för linjära vektorfält i planet. Med konceptet med ett vektorfält på ett plan kan man associera ett linjärt system av differentialekvationer av formen:

,

där  är en punkt på planet,  är matrisen . Uppenbarligen är punkten i fallet med en icke-singular matris den enda singulära punkten i en sådan ekvation.

Beroende på matrisens egenvärden finns det fyra typer av icke degenererade singulära punkter i linjära system: nod, sadel, fokus, centrum.

Se även

• Poincarés vektorfältsats