Chua kedja

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 mars 2020; verifiering kräver 1 redigering .

Chua -krets eller Chua-krets är den enklaste elektriska kretsen som visar lägen för kaotiska svängningar. Det föreslogs av en professor vid University of California, Leon Chua ] 1983 . Kretsen består av två kondensatorer , en induktor , ett linjärt motstånd och ett icke-linjärt negativt motstånd (vanligtvis kallat en Chua-diod ).

Matematisk modell

Ekvationssystemet för kretsen som visas i figur 1 kan erhållas med den första Kirchhoff-regeln och formeln för spänningen på induktorn:

\left\{{\begin{aligned}C_{1}{\frac {dv_{C_{1}}}{dt}}&=G(v_{C_{2}}-v_{C_{1 }})-g(v_{C_{1}}),\\C_{2}{\frac {dv_{C_{2}}}{dt}}&=G(v_{C_{1}}-v_ {C_{2)))+i_{L},\\L{\frac {di_{L}}{dt}}&=-v_{C_{2}},\end{aligned}}\right.

var och är spänningarna på kapacitanserna, är strömmen genom induktorn, är en bitvis linjär funktion som kännetecknar Chua-dioden, definierad som $v_{C_{1))$ $v_{C_{2))$ $i_{L}$ $g(v_{{C_{1}}})$

g(v_{C_{1}})=G_{b}v_{C_{1}}+{\frac {1}{2}}(G_{a}-G_{b}){\big (}|v_{C_{1}}+E|-|v_{C_{1}}-E|{\big )}.

Denna icke-linjära funktion representeras grafiskt i figur 2: brantheten hos de inre och yttre sektionerna är Ga respektive Gb ; i detta fall motsvarar punkterna ± E avbrott i grafen.

Låt oss göra följande ersättningar för dimensionslösa koefficienter:

m_{0}={\frac {G_{a}}{G)),\quad m_{1}={\frac {G_{b}}{G)),\quad \alpha ={\ frac {C_{2}}{C_{1}}},\quad \beta ={\frac {C_{2}}{LG^{2}}},

\tau ={\frac {tG}{C_{2))},\quad x={\frac {v_{C_{1))}{E)),\quad y={\frac {v_ {C_{2}}}{E}},\quad z={\frac {i_{L}}{EG}}.

Det huvudsakliga ekvationssystemet kan skrivas i formen

\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{d\tau }}&=\alpha {\big (}yxh(x){\big )},\\{\frac { dy}{d\tau }}&=x-y+z,\\{\frac {dz}{d\tau }}&=-\beta y,\end{aligned}}\right.

var

h(x)=m_{1}x+{\frac {1}{2}}(m_{0}-m_{1}){\big (}|x+1|-|x-1| {\big )}.

Funktionssätt

Chua-kretsen upptäcker kaotiska oscillationslägen i ett ganska snävt område av parametrar. De huvudsakliga oscillationslägena visas villkorligt i figur 3.

I det fall då parametrarna α och β tillhör området som anges med siffran 1 i diagrammet, finns det två stabila jämviktspositioner d och − d i systemet och en instabil placerad vid origo 0. I detta fall Chua-kedjan, beroende på de initiala förhållandena, tenderar till en av de två stabila jämviktspositionerna. I fallet när systemparametrarna är i området markerat med siffran 2 , i närheten av jämviktspunkten d eller −d finns en stabil gränscykel . När det närmar sig gränsen med en kaotisk regim genomgår systemet en cykel av periodiska fördubblingar fram till bildandet av en kaotisk Rössler-atttraktor . Ökningen av parametervärden före början av varje efterföljande periods fördubbling av bifurkation minskar enligt Feigenbaum-relationen . När parametrarna faller in i det område som är markerat med siffran 6 bildas en konstig atttraktor (Figur 4), som kallas en "dubbel rullning" ( eng. dubbel rullning ). Med denna typ av beteende passerar systemets bana i närheten av både de övre och nedre jämviktspositionerna. Inom området för existensen av "dubbelcurl"-attraktorn finns det också periodicitetsfönster liknande de som fanns i regionen för Rössler-atttraktorn . Deras skillnad är att den periodiska omloppsbanan i detta fall täcker båda jämviktspositionerna. När parametrarna α och β passerar in i området markerat i figur 3 med siffran 11 observeras oscillationer med en oändligt ökande amplitud i det oscillerande systemet, oavsett de initiala förhållandena. Eftersom Chua-dioden är implementerad i op-amps har den ett begränsat dynamiskt omfång, och därför finns det också en stor stabil gränscykel i systemet som täcker alla segment av Chua-diodens egenskaper.

Figurerna 5, 6 visar tidsberoendena för de svängningar som detekteras av detta system.

Figur 4. Dubbel krullattraktor. Lissajous figur i L från v Cl vid L = 1/7 H; G = 0,7 cm; Cl = 1/9 F; C2 = IF; G a \u003d -0,8 A / V; G b \u003d -0,5 A/V
Figur 5. Tidsberoende v C1 för fallet L = 1/7 H; G = 0,7 cm; Cl = 1/9F; C2 = IF; G a \u003d -0,8 A / V; G b \u003d -0,5 A/V
Figur 6. Tidsberoende av v C2 för fallet L = 1/7 H; G = 0,7 cm; Cl = 1/9 F; C2 = 1 F; G a \u003d -0,8 A / V; G b \u003d -0,5 A/V

Chua Oscillator

Termen "Chua Oscillator" används för att betrakta Chua-kretsen, med hänsyn till det aktiva motståndet hos induktorn L. Denna krets har ett ännu större antal olika lägen och kan implementeras praktiskt (Figur 7).

Om vi tar R 0 - det aktiva motståndet för induktorn L, får vi ett ekvationssystem

\left\{{\begin{aligned}C_{1}{\frac {dv_{c_{1}}}{dt}}&=G(v_{C_{2}}-v_{C_{1 }})-g(v_{C_{1}}),\\C_{2}{\frac {dv_{c_{2}}}{dt}}&=G(v_{C_{1}}-v_ {C_{2}})+i_{L},\\L{\frac {di_{L}}{dt}}&=-v_{C_{2}}+R_{0}i_{L}.\ end{aligned}}\right.

Den enkla praktiska implementeringen, liksom närvaron av en relativt enkel matematisk modell, gör Chua-kretsen till en bekväm modell för att studera kaos .

Se även

memristor

Litteratur

Kuznetsov A.P. Visuella bilder av kaos // Soros Educational Journal , 2000, nr 11, sid. 104-110;
Bugaevsky M. Yu., Ponomarenko VI Studie av Chua-kedjans beteende. Läromedel , - Saratov: Förlag för State University Center "College", 1998. - 29 sid.
Matsumoto, T. En kaotisk attraktion från Chua's Circuit , IEEE Transactions on Circuits & Systems, 1984, vol. CAS-31, nr. 12, sid. 1055–1058.
Chua, L. O., Komuro, M., Matsumoto, T. "The Double Scroll Family" , IEEE Transactions on Circuits & Systems, 1986, vol. CAS-33, nr. 11, sid. 1073–1118.
T. Matsumoto, L.O. Chua, M. Komuro. "Birth and death of the double scroll" , Physica D Volym 24, nummer 1-3 (jan/feb 1987).
Stankevich NV; Kuznetsov NV; Leonov G.A.; Chua L. (2017). "Scenario för födelsen av dolda attraktioner i Chua-kretsen". International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 27 (12): 1730038–188 https://doi.org/10.1142/S0218127417300385
N.V. Kuznetsov. Teori om dolda svängningar och stabilitet hos styrsystem // Izvestiya RAN. Teori och styrsystem. - 2020. - Nr 5 . - S. 5-27 . - doi : 10.31857/S0002338820050091 .