Krylov underrymd

I linjär algebra är ett Krylov-underrum av dimension , genererat av en vektor och en matris , ett linjärt rum $m$ $v\in {\mathbb {C}}^{n}$ $A\in {\mathbb {C}}^{{n\times n}}$

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operatörsnamn {span}\{v,Av,A^{2}v,...,A^{{m-1}}v\ }.$

Krylov-underrummet är ett underrum av vektorrummet över fältet av komplexa tal : ${\mathcal {K}}_{m}\subset \mathbb {C} ^{n}.$

Sådana utrymmen fick sitt namn efter den ryska tillämpade matematikern och sjöingenjören A. N. Krylov , som publicerade en artikel om problemet 1931.

Dimension av Krylov-underrummet

På grund av rymdens ändliga dimensionalitet finns det sådan att vektorerna är linjärt oberoende, och det finns en linjär kombination av dessa vektorer med koefficienter $\mathbb{C}^{n}$ $p\;(0\leq p\leq n),$ $v,\;Av,\;A^{2}v,\;...,\;A^{p-1}v$ $A^{p}v$ $\gamma _{1},\;\gamma _{2},\;...,\;\gamma _{p}:$

$A^{p}v=-\gamma _{1}A^{p-1}v-\gamma _{2}A^{p-2}v-...-\gamma _{p }v$

Vi komponerar ett polynom och får: $\varphi (\lambda )=\lambda ^{p}+\gamma _{1}\lambda ^{{p-1}}+\gamma _{2}\lambda ^{{p-2}}+.. .+\gamma _{p}$

$\varphi (A)v=0.$

Gradpolynomet är det minimala polynomet för vektorn v med avseende på matrisen A . $\varphi (A)$ $sid$

Egenskaper för underrummet Krylov

1. invariant med avseende på och för någon

{\mathcal {K}}_{p}

A

{\mathcal {K}}_{m}={\mathcal {K}}_{p}

m\geq sid.

dim({\mathcal {K}}_{m})=\min\{m,p\}.

Krylovsky typ metoder

Algoritmer som använder Krylov-underrymden kallas traditionellt för metoder av Krylov-typ. De är bland de mest framgångsrika metoder som för närvarande finns tillgängliga på numerisk linjär algebra.

Moderna iterativa metoder för att hitta egenvärden och metoder för att lösa SLAE, fokuserade på matriser med stora dimensioner, undvika matris-matrisoperationer och oftare multiplicera matrisen med vektorer och arbeta med de resulterande vektorerna:

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operatörsnamn {span}\{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{m}\},$

var

$v_{1}=v,\;v_{2}=Av_{1},\;v_{3}=Av_{2},\;...,\;v_{m}=Av_{{m-1 }}$ .

De mest kända Krylov subrymdmetoderna är Arnoldimetoden , Lanczosmetoden , Conjugate gradientmetoden , GMRES , BiCG , BiCGSTAB , QMR , TFQMR och MinRES .

Se även

Krylovs metod för att hitta det karakteristiska polynomet i matrisen .
Projektionsmetoder för att lösa SLAE
Lanczos biortogonalisering
Iterativt mallbibliotek

Litteratur

Krylov A.N. På den numeriska lösningen av en ekvation som bestämmer frekvenserna för små svängningar av materialsystem i tekniska frågor. . - 1931. - S. 26 .
Saad Y. Iterativa metoder för glesa linjära system . — 2:a upplagan. - SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics, 2003. - S. 477 . — ISBN 0898715342 .
Gantmakher F.R. Matrix Theory . — 2:a upplagan. - M .: Nauka, 1966. - S. 576. - ISBN 5-9221-0524-8 .
Balandin M. Yu., Shurina EP Metoder för att lösa högdimensionella SLAE. - Novosibirsk: NSTU, 2000. - S. 70.