Polynummer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 november 2017; kontroller kräver 2 redigeringar .

Algebra av polytal implementeras av element i formen: $P_{n}$ $A\in P_{n}$

A=A_{1}e_{1}+\dots +A_{n}e_{n},

där a är en uppsättning generatorer som följer följande multiplikationsregler (multiplikation är kommutativ och associativ): $A_{i}\in \mathbb {R} ,$ $e_{i}$ $P_{n}$

e_{i}e_{j}=0\quad (i\neq j),\quad e_{i}^{2}=e_{i},

och självt är följande objekt ( direkt summa ):

P_{n}~{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}~\underbrace {\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \oplus \cdots \oplus \mathbb {R } } _{n}=\bigoplus ^{n}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n}.

Flertal (n-tal)

Det är lätt att kontrollera att multiplikation i algebra av polytal i den valda basen reduceras till multiplikationen av motsvarande komponenter, och division definieras endast för polytal som har allt (av denna anledning bildar inte polytal ett talfält ). Den algebraiska enheten har följande representation i den valda basen: $A_{i}\neq 0$

{\displaystyle I=e_{1}+\dots +e_{n))

Det finns n-1 komplexa konjugationsoperationer på algebra . En av dem kan definieras av följande regel: $P_{n}$

A^{(1)}=A^{\ast }=A_{n}e_{1}+A_{1}e_{2}+\dots +A_{n-1}e_{n},

vilket reducerar till en cyklisk permutation av komponenterna i polynumret . k -te komplex konjugation kan definieras med formeln : $A$

A^{(k)}=A^{k(1)}=((A^{\ast })^{\ast })^{\dots })^{\ast }\quad

( - gånger)

k

Det är uppenbart $A^{(n)}=A.$

Betrakta ett polynummer av formuläret

N(A)=AA^{(1)}A^{(2)}\dots A^{(n-1)},

(ett)

var . $A\in P_{n}$

Det är lätt att kontrollera att det är verkligt i den meningen att $N(A)$

N(A)=r^{n}I,

var .

r^{n}\in R

Numret kallas (kvasi)normen för polynumret . Kvasinormen uttrycks i termer av polynumrets koordinater med formeln: $r$ $A$ $r$ $A$

r^{n}=A_{1}A_{2}\dots A_{n}=G(A,A,\dots ,A)

, (2)

var är n-formen $G$

G={\hat {S}}\left(dx^{1}\otimes \cdots \otimes dx^{n}\right)

, (3)

${\hat {S))$ är symmetriseringsoperatorn. Denna form är ett (Finsler) mått i Berwald-Moor utrymmen . Formlerna (1)-(3) klargör sambandet mellan polynumeralgebra och Berwald-Moor-rymden: den metriska n-formen (3) induceras av den verkliga algebraiska formen , som är en flerdimensionell analog till den euklidiska kvadratiska formen på komplext plan $N(A)$ ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{\ast ))$ .

I analogi med den komplexa bilinjära formen:

(\zeta ,\xi )=\mathrm {Re} (\zeta \xi )

där , kan vi betrakta den n -linjära formen $\zeta ,\xi \in \mathbb {C}$

(A,B,\dots,Z)={\text{Re}}(AB\dots Z)=\summa \limits _{\sigma (A,B,\dots,Z)}AB^{ (1)}C^{(2)}\dots Z^{(n-1)}=n!G(A,B,{\dots},Z).\quad

(fyra)

Här utförs summeringen över uppsättningen av alla permutationer av element . Det sista likhetstecknet i (4) (det fastställs genom direkt verifiering) avslöjar också det genetiska sambandet mellan algebrorna för polytal och geometrierna för motsvarande Berwald-Moor-utrymmen. $\sigma (A,B,{\dots },Z)$ ${\displaystyle A,B,{\dots },Z\in P_{n))$

Flertalsalgebra som beskrivs ovan kan visas vara den direkta summan av instanser av den reella talalgebran . Bland alla associativ-kommutativa algebror är den i en viss mening maximalt symmetrisk (den innehåller hyperboliska imaginära enheter). En mer allmän konstruktion kommer att vara en flertalsalgebra , som är en direkt summa av instanser av algebra av reella tal och instanser av algebra av komplexa tal [1] . $P_{n}$ $n$ $\mathbb {R}$ $n$ $P_{n,m},$ $n$ $\mathbb {R}$ $m$ $\mathbb {C}$

Anteckningar

↑ G. I. Garasko, Fundamentals of Finsler geometry for physicists, M.: Tetru, 2009.

Litteratur

I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov. hyperkomplexa tal. M.: Nauka, 1973, s. 138-140
M. A. Lavrentiev, B. O. Shabat. Hydrodynamiks problem och dess matematiska modeller. Moskva: Nauka, 1977.
G. I. Garasko. Grunderna i Finslers geometri för fysiker. M.: Tetra, 2009.
S. S. Kokarev . Föreläsningar om Finslergeometri och hyperkomplexa tal. På lör. vetenskapliga arbeten av RNEC "Logos", vol. 5, Yaroslavl (2010), s. 19-121