Kompletta och univalenta funktioner

I kategoriteorin är en univalent funktor (resp. komplett funktor ) en funktion som är injektiv (resp. surjektiv ) på varje uppsättning morfismer med en fixerad bild och förbild.

Mer uttryckligen, låt oss ha lokalt små kategorier C och D och låt F : C → D vara en funktion från C till D . Denna funktion inducerar en funktion

F_{X,Y}\colon\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))

för varje par av X- och Y- objekt från C . Funktionen F kallas

univalent (eller strikt ) om funktionen F X , Y är injektiv
komplett om F X , Y är surjektiv
helt univalent (eller fullständig och univalent) om F X , Y är bijektiv

för varje X och Y i C .

Egenskaper

En univalent funktor är inte nödvändigtvis injektiv på objekt i kategori C , så bilden av en helt univalent funktionor behöver inte vara en kategori isomorf till C . På samma sätt är en komplett funktor inte nödvändigtvis surjektiv på objekt. En helt univalent funktor är emellertid injektiv på objekt upp till isomorfism, det vill säga om F : C → D är helt univalent och , då (i detta fall sägs funktionatorn F reflektera isomorfismer). $F(x)\cong F(y)$ $x \cong y$
Vilken envärd funktion som helst återspeglar monomorfismer och epimorfismer . Det följer av detta att vilken envärd funktion som helst från en balanserad kategori återspeglar isomorfismer.

Exempel

Den glömska funktorn U : Grp → Mängd är univalent, eftersom en grupphomomorfism bestäms unikt av en funktion på de stödda mängderna. En kategori med en strikt funktion i en uppsättning kallas en konkret kategori .
Funktionen som bäddar in Ab i Grp är helt univalent.

Se även

Litteratur

McLane S. Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Bucur I., Deleanu A. Introduktion till teorin om kategorier och funktioner. — M .: Mir, 1972.