Semilokalt enkelt sammankopplat utrymme

Semilocally enkelt sammankopplade utrymmen bildar en klass av topologiska utrymmen som är viktiga för att täcka teori . För sådana utrymmen finns det en universell täckning och en Galois-överensstämmelse mellan täckning av utrymmen och undergrupper av den grundläggande gruppen .

Förgreningarna , CW-komplexen är semilokalt helt enkelt sammankopplade. Icke-semilokalt enkelt anslutna utrymmen (t.ex. hawaiianska örhängen ) anses vara patologiska exempel.

Definition

Ett topologiskt utrymme X sägs vara semilokalt helt enkelt kopplat om varje punkt i X har en grannskap U så att varje slinga i U kan dras samman till en punkt i X.

Anteckningar

• Själva grannskapet U behöver inte bara vara anslutet  - även om varje cykel i U kontrakterar till X , behöver den inte kontraktera med U
  • Av denna anledning kan ett utrymme vara semilokalt enkelt kopplat utan att vara lokalt enkelt kopplat.
• Följande villkor är ekvivalent: varje punkt i X har en grannskap U för vilken homomorfismen från den fundamentala gruppen U till den fundamentala gruppen X inducerad av inkluderingen av U i X är trivial.

Exempel

• Hawaiiörhänget  är ett klassiskt exempel på ett icke-semilokalt enkelt sammankopplat utrymme.

• Konen över det hawaiianska örhänget ger ett exempel på ett sammandragbart utrymme (särskilt ett som är enkelt anslutet och semilokalt enkelt anslutet), men inte ett som är lokalt enkelt anslutet .
  • Ett utrymme limmat från två kopior av en sådan kon i en punkt, på grundval av vilket ringarna på örhänget berör varandra, ger ett exempel på ett icke-enkelt sammankopplat utrymme med en trivial universalbeläggning. Det vill säga, den grundläggande gruppen av utrymmet är icke-trivial, men utrymmet i sig tillåter endast en trivial täckning.