Polarisering (Lie algebra)

Polarisering i representationsteori är det maximala fullständigt isotropiska underrummet av en viss skevsymmetrisk bilinjär form på Lie-algebra . Begreppet polarisering spelar en viktig roll i konstruktionen av irreducible enhetsrepresentationer av vissa klasser av Lie-grupper genom omloppsmetoden , såväl som i harmonisk analys av Lie-grupper och matematisk fysik .

Definition

Låt vara en Lie-grupp, vara dess Lie-algebra, vara det dubbla rummet av k . Med beteckna värdet av den linjära funktionalen ( kovektorn ) på vektorn . En subalgebra till en algebra sägs vara underordnad en kovektor om tillståndet $G$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathfrak g$ $\langle f,\,X\rangle$ $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$ $X\in {\mathfrak {g))$ ${\mathfrak {h))$ $\mathfrak g$ $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$

\langle f,\,[X,\,Y]\rangle =0\quad \forall \quad X,Y\in {\mathfrak {h))

eller mer kortfattat,

\langle f,\,[{\mathfrak {h)],\,{\mathfrak {h))]\rangle =0

Låt vidare gruppen agera på utrymmet genom en coadjoint representation . Beteckna med omloppsbanan för denna åtgärd som passerar genom punkten , och beteckna Lie-algebra för punktens stabilisatorgrupp . En subalgebra som är underordnad den funktionella kallas algebrans polarisering med avseende på , eller kort sagt, polariseringen av covector , om den har största möjliga dimension, nämligen $G$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathrm {Ad} ^{*}$ ${\mathcal {O}}_{f}$ $f$ ${\mathfrak {g}}^{f}$ $\mathrm {Stab} (f)$ $f$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ $f$ $\mathfrak{g}$ $f$ $f$

\dim {\mathfrak {h}}={\frac {1}{2}}\left(\dim \,{\mathfrak {g}}+\dim \,{\mathfrak {g}}^ {f}\right)=\dim \,{\mathfrak {g}}-{\frac {1}{2}}\dim \,{\mathcal {O}}_{f}

[1] [2] .

Pukanskys tillstånd

En historiskt viktig roll i utvecklingen av representationsteorin spelades av följande tillstånd, hittat av L. Pukansky [3] .

Låta vara polariseringen som motsvarar covector , vara dess förintare, det vill säga mängden av alla funktionaler vars värde är lika med noll: . En polarisering kallas normal om ett villkor är uppfyllt, vilket kallas Pukansky-villkoret : ${\mathfrak {h))$ $f$ ${\mathfrak {h}}^{\perp }$ $\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}$ ${\mathfrak {h))$ ${\mathfrak {h}}^{\perp }:=\{\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}|\langle \lambda ,\,{\mathfrak {h}}\ range=0\}$ ${\mathfrak {h))$

f+{\mathfrak {h}}^{\perp }\in {\mathcal {O}}_{f}

(ett)

L. Pukansky visade att villkoret ( 1 ) garanterar tillämpbarheten av omloppsmetoden av A. Kirillov , som ursprungligen utvecklades för nilpotenta Lie-grupper, även för en bredare klass av lösbara grupper [4] .

Egenskaper

En polarisering är ett maximalt fullständigt isotropt delrum av en bilinjär form på en Lie-algebra [1] [2] . $\langle f,\,[\cdot ,\,\cdot ]\rangle$ $\mathfrak{g}$
Polarisering finns inte för varje par [1] [2] . $({\mathfrak {g)),\,f)$
Om det finns en polarisering för den funktionella, så finns den också för vilken punkt som helst i omloppsbanan , och om det är en polarisering för , är det en polarisering för . Således är förekomsten av polarisering en egenskap hos omloppsbanan som helhet [1] . $f$ ${\mathcal {O}}_{f}$ ${\mathfrak {h))$ $f$ $\mathrm {Ad} _{g}{\mathfrak {h}}$ $\mathrm {Ad} _{g}^{*}f$
Om Lie-algebra är helt lösbar, så har den en polarisering med avseende på varje punkt [2] . $\mathfrak{g}$ $f\in {\mathfrak {g}}^{*}$
Om är en omloppsbana i allmän position , då med avseende på var och en av dess punkter för någon Lie-algebra finns det en polarisering, och den kan väljas lösbar [2] . $\mathcal{O}$
Om det finns en polarisering för omloppsbanan , så kan inbäddningen realiseras av funktioner linjära i variablerna , där är de kanoniska koordinaterna för Kirillov-formen på omloppsbanan . [5] [6] . $\mathcal{O}$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ $f_{i}(q,p),\ i=1,...,\dim {\mathfrak {g))$ $1/2\,\dim {\mathcal {O}}$ $sid$ $(q,\,p)$ $\mathcal{O}$

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 A. A. Kirillov. Element i representationsteori. - M. : Nauka, 1978. - 343 sid.
↑ 1 2 3 4 5 J. Dixmier. Universella omslutande algebror. — M .: Mir, 1978. — 407 sid.
↑ J. Dixmier, M. Duflo, A. Hajnal, R. Kadison, A. Korányi, J. Rosenberg och Michèle Vergne. Lajos Pukánszky (1928 - 1996) (engelska) // Notices of the American Mathematical Society. - 1998. - April ( vol. 45 , nr 4 ). - S. 492 - 499 . — ISSN 1088-9477 .
↑ L. Pukanszky. Om teorin om exponentiella grupper (engelska) // Transactions of the American Mathematical Society. - 1967. - Mars ( vol. 126 ). - S. 487 - 507 . - ISSN 1088-6850 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1967-0209403-7 .
↑ S. P. Baranovsky, I. V. Shirokov. Deformationer av vektorfält och kanoniska koordinater på banor för koadjoint representation // Siberian Mathematical Journal. - 2009. - Juli - augusti ( vol. 50 , nr 4 ). - S. 737 - 745 . — ISSN 0037-4474 . (ryska)
↑ Gör Ngoc Diep. Quantum strata of coadjoint orbits (engelska) // arXiv.org. - 2000. - Maj. - S. 1 - 27 . — ISSN 2331-8422 .