Bifogad representation

Koadjointrepresentationen av en Lie-grupp är representationen konjugat till adjointen . Om är Lie-algebra för gruppen kallas motsvarande åtgärd på rymden konjugat till coadjoint action . Ur en geometrisk synvinkel är det verkan av vänsterförskjutningar på utrymmet för höger-invarianta 1-former på . $\mathrm {Ad} ^{*}$ $G$ $\mathfrak{g}$ $G$ $G$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathfrak{g}$ $G$

Vikten av coadjoint-representationen betonades i verk av A. A. Kirillov , som visade att konceptet med coadjoint-representationens (K-orbit) omloppsbana spelar en nyckelroll i representationsteorin för nilpotenta Lie - grupper . I Kirillovs metod för omloppsbanor är representationer konstruerade geometriskt, utgående från K-banor. På sätt och vis ersätter de senare konjugationsklasser , som kan ordnas på ett komplext sätt, samtidigt som det är relativt enkelt att arbeta med banor. $G$ $G$ $G$

Definition

Låt vara en Lie-grupp och vara dess Lie-algebra, vara en adjoint representation av . Då definieras coadjoint representationen som . Mer exakt, $G$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g)))$ $G$ $\mathrm {Ad} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}^{*})$ $\mathrm {Ad} _{g}^{*}:=\left(\mathrm {Ad} _{g^{-1}}\right)^{*}$

\langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f,\,X\rangle =\langle f,\,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}X\rangle , \qquad g\in G,\quad X\in {\mathfrak {g)],\quad f\in {\mathfrak {g))^{*},

var är värdet på den linjära funktionalen på vektorn . $\langle f,X\rangle$ $f$ $X$

Låta vara en representation av Lie algebra i inducerad av coadjoint representation av Lie gruppen . Då gäller likheten för , var är den angränsande representationen av Lie algebra . Denna slutsats kan dras från den infinitesimala formen av ovanstående konstitutiva ekvation för : $\mathrm {ad} ^{*}$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $G$ $X\in {\mathfrak {g))$ $\mathrm {ad} _{X}^{*}=-\left(\mathrm {ad} _{X}\right)^{*}$ $\mathrm {ad}$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} ^{*}$

\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,Y\rangle :=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t))\ langle \mathrm {Ad} _{\exp(tX)}^{*}f,\,Y\rangle \right|_{t=0}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\ mathrm {d} t}}\langle f,\,\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}Y\rangle \right|_{t=0}=\langle f,\,-\mathrm { ad} _{X}Y\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g)],\quad f\in {\mathfrak {g))^{*},

var är den exponentiella mappningen från till . $\exp$ $\mathfrak g$ $G$

Generatorer

Låt vara en differentierbar funktion på . Betrakta förändringen i funktionen under den koadjointverkan av en enparameters undergrupp i vektorns riktning och särskilj den vid gruppens identitet: $\varphi \in C^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\varphi$ $e^{tX}\subset G$ $X\in {\mathfrak {g))$

\left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f)}{\mathrm {d} t}}\right |_{t=0}=\langle \left.{\frac {\mathrm {d} \mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f}{\mathrm {d} t} }\right|_{t=0},\,\nabla _{f}\varphi (f)\rangle =-\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\nabla _ {f}\varphi (f)\rangle =\langle f,\,\mathrm {ad} _{X}\nabla _{f}\varphi (f)\rangle .

(ett)

Här är gradienten för funktionen , som naturligt identifieras med ett element i algebra . Låt oss välja någon grund i algebra och låt vara dess ömsesidiga grund i , det vill säga , , där är Kronecker-symbolen . Vi väljer som grundvektor . Sedan tar jämställdhet ( 1 ) formen $\nabla _{f}\varphi$ $\varphi$ $\mathfrak{g}$ $\{e_{i}\}$ $\mathfrak{g}$ $\{e^{i}\}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\langle e_{i},\,e_{j}\rangle =\delta _{j}^{i}$ $i,j=1,...,\dim {\mathfrak {g))$ $\delta^i_j$ $X$ $e_{i}$

{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-te_{i})}^{*}f)}{\mathrm {d} t} }\right|_{t=0}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{j))))

(här och nedan antyds summeringen av de två gånger upprepade indexen ), vilket visar att man kan välja en uppsättning vektorfält som grunden för generatorerna för den koadjoint åtgärden

{\hat {X}}_{i}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial }{\partial f_{j}}},\qquad i=1, ...,\dim {\mathfrak {g}}

var är de strukturella konstanterna för algebra . ${\displaystyle C_{ij}^{k))$ $\mathfrak{g}$

Invarianter

Invarianterna för koadjointverkan uppfyller differentialekvationssystemet $K$

{\hat {X}}_{i}K\equiv C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{j}}}= 0,\qquad i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}.

(2)

Vi definierar en antisymmetrisk bilinjär form på med hjälp av jämlikheten $B_{f}(X,\,Y)$ $\mathfrak{g}$

B_{f}(X,\,Y):=\langle f,\,[X,\,Y]\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g))

Antalet oberoende ekvationer i systemet ( 2 ) är lika med . Dess lösningar i närheten av en punkt i allmän position (det vill säga den punkt där formens rangordning är maximal) kallas algebras Casimir-funktioner . Antalet funktionellt oberoende icke-triviala (inte identiskt konstanta) Casimir-funktioner kallas algebrans index och är lika med ${\displaystyle \mathrm {rank} \,B_{f))$ ${\displaystyle B_{f))$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {g}}-\sup \limits _{f\in {\mathfrak {g}}^{*}}\ mathrm {rank} \,B_{f}

Eftersom rangordningen för den antisymmetriska formen är jämn, sammanfaller alltid indexets pariteter och algebrans dimension.

Förutom Casimir-funktionerna , , definierade vid punkter i utrymmets allmänna position , kan det finnas invarianter definierade på speciella undergrenar av coadjoint action, på vilka formens rangordning är lägre än den maximala. Om på en speciell invariant submanifold rangen av formen är , , så kallas icke-konstanta lösningar av system ( 2 ) begränsade till submanifolden Casimir-funktioner av typen . Uppsättningen av oberoende funktioner utgör grunden för koadjointverkans invarianter: vilken invariant som helst kan uttryckas som en funktion av elementen i denna uppsättning. Av systemformen ( 2 ) följer att grunden för invarianter alltid kan vara sammansatt av homogena funktioner hos kovektorns komponenter . $K_{\mu }$ $\mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ ${\displaystyle B_{f))$ $M_{s}\subset {\mathfrak {g}}^{*}$ ${\displaystyle B_{f))$ $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$ $s=1,...,(\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}})/2$ $K^{(s)}$ $Fröken$ $s$ ${\displaystyle \{K_{\mu },K_{\nu}^{(1)},...,K_{\rho }^{((\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind } \,{\mathfrak {g)))/2)}\))$ $f$

K-banor

Banan för coadjoint-representationen, eller kortfattat K-banan, som passerar genom en punkt i det dubbla utrymmet i Lie-algebra , kan definieras som omloppsbanan för , eller, ekvivalent, som det homogena utrymmet , där är stabilisatorn av punkten med avseende på gruppens samverkande åtgärd . $\mathcal{O}$ $f$ ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} _{G}^{*}f\subset {\mathfrak {g}}^{*}$ $G/\mathrm {Stab} (f)$ $\mathrm {Stab} (f)\subset G$ $f$ $G$

Banor i allmän position har största möjliga dimension lika med , och kallas icke- degenererade eller regelbundna . Sådana banor definieras i termer av en godtycklig uppsättning oberoende Casimir-funktioner av ekvationerna $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$

K_{\mu }(f)=\kappa _{\mu },\qquad \mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g)).

På liknande sätt definieras degenererade eller singulära dimensionsbanor , som utgör singulära invarianta undergrenar , av ekvationerna $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$ $Fröken$

K_{\mu }^{(s)}(f)=\kappa _{\mu }^{(s)},\qquad \mu =1,...,r_{s},

var är antalet oberoende Casimir-funktioner av typen . Om Casimir-funktionerna är envärdiga, motsvarar varje uppsättning konstanter ett räknebart (som regel ändligt) antal banor. Kovektorer som tillhör en (icke)degenererad bana kallas också för ( icke ) degenererade . ${\displaystyle r_{s))$ $s$ ${\displaystyle \kappa _{\mu }^{(s)))$

Kirillovs uniform

Banorna för coadjoint-representationen är undergrenar av jämn dimension i och har en naturlig symplektisk struktur . Varje bana har en sluten icke-degenererad -invariant 2-form , som är konstruerad enligt följande. Låt vara den antisymmetriska bilinjära formen definierad ovan på . Sedan kan det definieras av jämlikheten ${\mathfrak {g}}^{*}$ $\mathcal{O}$ $G$ $\omega _{\mathcal {O}}$ ${\displaystyle B_{f))$ $\mathfrak{g}$ $\omega _{\mathcal {O}}\in \mathrm {Hom} (\Lambda ^{2}({\mathcal {O}}),\mathbb {R} )$

\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\mathrm {ad} _{Y}^{*}f):=B_{ f}(X,\,Y)

Existens, icke-degeneration och -invarians följer av följande fakta: $G$ $\omega _{\mathcal {O}}$

Tangentrymden kan identifieras med , där är Lie-algebra för gruppen . $T_{f}({\mathcal {O}})$ ${\mathfrak {g}}/\mathrm {stab} (f)$ $\mathrm {stab} (f)$ $\mathrm {Stab} (f)$

Displaykärnan är exakt . ${\displaystyle B_{f))$ $\mathrm {stab} (f)$

${\displaystyle B_{f))$ invariant under åtgärden . $\mathrm {Stab} (f)$

Dessutom är formuläret stängt . Den kanoniska 2-formen kallas Kirillov , Kirillov- Kostant eller Kirillov-Kostant- Surio-formen . $\omega _{\mathcal {O}}$ $\omega _{\mathcal {O}}$

K-banan kallas heltal om Kirillov-formen tillhör heltalskohomologiklassen , det vill säga dess integral över en tvådimensionell cykel i är lika med ett heltal: $\mathcal{O}$ $\sigma$ $\mathcal{O}$

\int \limits _{\sigma }\omega _{\mathcal {O}}=n\in Z

Heltalsbanor spelar en central roll i konstruktionen av irreducerbara representationer av Lie-grupper med omloppsmetoden.

Berezin parentes

Formen ger utrymmet strukturen av ett Poisson-grenrör med en Lie-Poisson-fäste ${\displaystyle B_{f))$ ${\mathfrak {g}}^{*}$

\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}=B_{f}(\mathrm {d} \varphi ,\,\mathrm {d} \psi )=C_{ij}^{k }f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{i))}{\frac {\partial \psi (f)}{\partial f_{j))},\qquad \varphi ,\psi \in C^{2}({\mathfrak {g))^{*})

vilket är en degenererad Poisson-parentes : från formen av coadjoint action-generatorer är det uppenbart att Casimir-funktionerna (och bara dem) pendlar med avseende på den med vilken funktion som helst på . Begränsningen av denna parentes till banorna för coadjoint-representationen, kallad Berezin-konsolen [1] , är icke-degenererad och sammanfaller med Poisson-konsolen som genereras av Kirillov-formen: ${\mathfrak {g}}^{*}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\,\cdot \}_{\omega _{\mathcal {O))))$

\{\varphi ,\,\psi \}_{\omega _{\mathcal {O}}}=\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {sgrad} \,\varphi ,\ ,\mathrm {sgrad} \,\psi )=\left.\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}\right|_{\mathcal {O))

Här är ett Hamiltonian vektorfält med Hamiltonian . $\mathrm {sgrad} \,\varphi$ $\varphi$

Egenskaper för K-banor

En koadjoint aktion på en K-omloppsbana är en Hamiltonian -aktion med momentummapping . $({\mathcal {O}},\omega _{\mathcal {O}})$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$
Om banan har en polarisation kan inbäddningen realiseras av funktioner linjära i variablerna , där är de kanoniska koordinaterna för Kirillov-formen på banan . [2] [3] $\mathcal{O}$ ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ $f_{i}(q,p),\ i=1,...,\dim {\mathfrak {g))$ $1/2\,\dim {\mathcal {O}}$ $sid$ $(q,\,p)$ $\mathcal{O}$

Exempel

Grupp $E(2)$

Lie-algebra för gruppen av rörelser i det euklidiska planet definieras av kommuteringsrelationerna ${\mathfrak {e}}(2)$ $E(2)$

[e_{1},\,e_{2}]=0,\qquad [e_{1},\,e_{3}]=e_{2},\qquad [e_{2},\, e_{3}]=-e_{1}

(pendlingselementen och motsvarar översättningar av planet i riktningen för två koordinataxlar, och elementet motsvarar rotation runt någon punkt; alltså är gruppen tredimensionell). Följaktligen har formmatrisen formen $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{3}$ $E(2)$ ${\displaystyle B_{f))$

(B_{f})={\begin{pmatrix}0&0&f_{2}\\0&0&-f_{1}\\-f_{2}&f_{1}&0\end{pmatrix}}

Dess rangordning är lika med två överallt, förutom linjen , som är en speciell oföränderlig undergren av gruppens koadjointverkan på , så icke-degenererade K-banor är tvådimensionella. Av generatorerna av denna åtgärd $f_{1}=f_{2}=0$ $M_{1}$ $E(2)$ ${\mathfrak {e}}(2)^{*}$

{\displaystyle {\hat {X}}_{1}=f_{2}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{2}= -f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{3}=-f_{2}{\frac {\partial }{\ partiell f_{1))}+f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{2))))

två oberoende ekvationer skrivs

f_{2}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{3))}=-f_{2}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{1 ))}+f_{1}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{2))}=0,\qquad f_{1}^{2}+f_{2}^{2} \neq 0

definierar en unik Casimir-funktion. Icke-singular varianter av dess nivå

K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0

som var och en består av en bana, är cylindrar med en gemensam axel . Singularnivågrenröret ( ) sammanfaller med och består av (nolldimensionella) singulära banor , . Kirillov form $M_{1}$ $j=0$ $M_{1}$ $f_{1}=f_{2}=0$ ${\displaystyle f_{3}=\kappa ^{(1)))$

\omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{3}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{1}}}

reducerad till kanonisk form i cylindriska koordinater, begränsad till en fast bana : $\omega _{\mathcal {O}}=\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q$ $j=const$

f_{1}=j\cos q,\qquad f_{2}=j\sin q,\qquad f_{3}=p

Observera att övergången till kanoniska variabler i detta fall är linjär i . Möjligheten för en -övergång linjär i "momentum" garanteras av närvaron i den tvådimensionella subalgebra av översättningar som sträcks av vektorerna , , som, på grund av sin kommutativitet, är en polarisering för alla icke-degenererade K-omloppsbanor. $sid$ $q$ $sid$ ${\mathfrak {e}}(2)$ $e_{1}$ $e_{2}$

Grupp $SO(3)$

$SO(3)$ är den (tredimensionella) gruppen av rotationer i det tredimensionella euklidiska rummet. Kommutationsrelationer i dess Lie-algebra ${\mathfrak {so}}(3)$

[e_{1},\,e_{2}]=e_{3},\qquad [e_{1},\,e_{3}]=-e_{2},\qquad [e_{2 },\,e_{3}]=e_{1}

(varje basvektor motsvarar en rotationsgenerator i ett av tre ömsesidigt vinkelräta plan) bestäm formmatrisens form : ${\displaystyle B_{f))$

(B_{f})={\begin{pmatrix}0&f_{3}&-f_{2}\\-f_{3}&0&f_{1}\\f_{2}&-f_{1}&0 \end{pmatrix}}

Av de tre generatorerna av coadjoint-representationen vid varje punkt är endast två linjärt oberoende, så icke-singulära banor är tvådimensionella. De är koncentriska sfärer $f\in {\mathfrak {so}}(3)^{*}\backslash \{0\}$

K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+f_{3}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0

centrerad vid ursprunget. En speciell undervarietet består av en punkt , eftersom endast i den blir alla tre generatorer noll. $M_{1}$ $\{0\}$

Eftersom det inte finns några tvådimensionella subalgebra i algebra, har regelbundna kovektorer inga polarisationer; följaktligen kan inbäddningen av regelbundna banor i rymden inte realiseras av funktioner som är linjära i kanoniska variabler för Kirillov-formen ${\mathfrak {so}}(3)$ ${\mathfrak {so}}(3)^{*}$ $sid$

\omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{1}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{3}}}

Det finns dock (komplexa) tvådimensionella subalgebror underordnade icke-degenererade kovektorer i , komplexbildningen av algebra . Till exempel, för en kovektor är detta subalgebra , så en sådan inbäddning är möjlig genom variabler som tar komplexa värden: ${\mathfrak {so}}(3)^{\mathbb {C}} }$ ${\mathfrak {so}}(3)$ ${\displaystyle j\,e^{3))$ $\{e_{1}+ie_{2},\,e_{3}\}$

f_{1}={\frac {i}{2}}\left(1-q^{2}\right)p+j\,q,\qquad f_{2}=-{\frac { 1}{2}}\left(1+q^{2}\right)p-ij\,q,\qquad f_{3}=-i\,q\,p+j,\qquad q,\ p \in \mathbb {C} ,\quad |p|\leqslant j

Det är lätt att verifiera att denna transformation verkligen för formen till den kanoniska formen. $\omega _{\mathcal {O}}$

Se även

Bifogad vy
Kirillov orbit method
Borel-Weyl-Bott teorem
Kirillovs karaktärsformel

Litteratur

A. A. Kirillov. Element i representationsteori. - M. : Nauka, 1978. - 343 sid.
Kirillov, AA, Lectures on the Orbit Method , Graduate Studies in Mathematics , Vol. 64, American Mathematical Society, ISBN 0821835300 , ISBN 978-0821835302

Anteckningar

↑ A. V. Borisov, I. S. Mamaev. Dirac-fästen inom geometri och mekanik. I boken: Dirac P. A. M. Föreläsningar om teoretisk fysik. - Izhevsk: Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics", 2001. - S. 191 - 230. - 240 sid. — ISBN 5-93972-026-9 .
↑ S. P. Baranovsky, I. V. Shirokov. Deformationer av vektorfält och kanoniska koordinater på banor för koadjoint representation // Siberian Mathematical Journal. - 2009. - Juli - augusti ( vol. 50 , nr 4 ). - S. 737-745 . — ISSN 0037-4474 . (ryska)
↑ Gör Ngoc Diep. Quantum strata of coadjoint orbits (engelska) // arXiv.org. - 2000. - Maj. - S. 1-27 . — ISSN 2331-8422 .

Länkar

Coadjoint orbit (engelska) på PlanetMath-webbplatsen .