Primär abelisk grupp

$sid$ -primär Abelisk grupp (där är ett fast primtal ) är en Abelisk grupp så att ordningen för ett element från är en potens av . $sid$ $(A,+)$ $A$ $sid$

Exempel

$(\mathbb {Z} _{p^{n)),+)$ är en additiv grupp av restklasser modulo ; $p^{n}$
$(\mathbb {Z} _{p}[x],+)$ är den additiva gruppen av polynomringen över fältet . $\mathbb {Z} _{p}$

Egenskaper

Varje periodisk abelian grupp (det vill säga en grupp utan element av oändlig ordning) sönderfaller i en direkt summa av -primära undergrupper. $sid$

En primär Abelisk grupp kallas elementär om alla dess element som inte är noll har ordning lika med . $(A,+)$ $sid$

En Abelisk grupp är -primär elementär om och endast om den sönderfaller till en direkt summa av grupper av formen . $A$ $sid$ $\mathbb {Z} _{p}$

$sid$ Höjden på ett element är det minsta naturliga talet så att . Om en sådan naturlig inte existerar, så har elementet en oändlig -höjd. $a\i A$ $n$ $a\in nA$ $n$ $a$ $sid$

Kulikovs kriterium :En -primär Abelisk gruppär en direkt summa av cykliska grupper om och endast omdet finns en förening av en stigande kedja av undergrupper $sid$ $A$ $A$

A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \ldots \subseteq A_{n}\subseteq \ldots ,\;\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}= A

där -höjden på element som inte är noll i undergrupper är mindre än ett fast element . $sid$ $A_{i}$ $k_n$

Kulikovs kriterium generaliserar Prufers satser :

Prufers första teorem : En avgränsad-primär (periodisk) Abelisk grupp är en direkt summa av cykliska undergrupper. $sid$
Prufers andra sats :En räknebar -primär Abelisk grupp bryts ner i en direkt summa av cykliska undergrupper om och endast om den inte innehåller några element som inte är noll med oändlighöjd. $sid$ $sid$

Litteratur

L. Fuchs Oändliga abelska grupper. T. 1, 2. - M .: Mir, 1974, 1977.
L. Ya Kulikov om teorin om abelianska grupper av godtycklig kardinalitet // Matematisk samling , 1941. - V. 9, nr 1. - P. 165-181.
H. Prüfer Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift, 1923. - V. 17, nr 1. - P. 35-61.