Njut av exempel

I teorin om dynamiska system är Denjoys exempel ett exempel på en cirkeldiffeomorfism med ett irrationellt rotationsnummer , som har en Cantor invariant uppsättning (och följaktligen inte är konjugerad till en ren rotation). M. Erman konstruerade sedan exempel på en sådan diffeomorfism i jämnhetsklassen (det vill säga med en Hölderderivata med exponent ) för någon . Denna jämnhet kan inte ökas ytterligare: för diffeomorfismer med en Lipschitz-derivata (och till och med med en derivata vars logaritm har begränsad variation) gäller Denjoys sats , som säger att en sådan diffeomorfism med ett irrationellt rotationstal är konjugerat till en irrationell rotation (med motsvarande rotationsnummer). $C^1$ $C^{1+\varepsilon }$ $C^1$ $\varepsilon$ $\varepsilon<1$

Konstruktion

Ett exempel på en homeomorfism

Det enklaste exemplet ges av en cirkelhomeomorfism vars rotationsnummer är irrationellt, men som ändå inte är minimalt . Betrakta nämligen en rotation genom någon irrationell vinkel och välj en godtycklig startpunkt . Tänk på dess omloppsbana (för alla heltal , både positiva och negativa). Låt oss göra följande omarrangering: vid varje punkt klipper vi cirkeln och klistrar in ett intervall av någon längd , så att summan av längderna av de inklistrade intervallen konvergerar: $R$ $\alfa$ $x_{0}$ $x_{n}=R^{n}(x_{0})$ $n$ $x_{n}$ $I}$ $l_{n}>0$

\sum _{n=-\infty }^{\infty }l_{n}<\infty .

Då kommer uppsättningen som erhålls efter sådan inklistring fortfarande att vara en cirkel, dessutom kommer den att ha det naturliga Lebesgue-måttet (bestående av Lebesgue-måttet på den klippta gamla cirkeln och Lebesgue-måttet på de inklistrade intervallen), det vill säga längden - och därför en slät struktur. Om man förlänger kartan godtyckligt från den gamla cirkeln så att den mappar intervallet till intervallet , till exempel genom att välja den affina kartan från till som en förlängning , får vi en homeomorfism f av den nya cirkeln med samma rotationsnummer . Denna homeomorfism har emellertid en Cantor-invariant uppsättning (stängningen av uppsättningen av punkter i den gamla cirkeln), och därför kan den inte konjugeras till en irrationell vändning. $R$ $I}$ $I_{n+1}$ $I}$ $I_{n+1}$ $\alfa$ $K$

Genom att välja en sekvens av längder på ett sådant sätt att sekvensen av relationer förblir begränsad till , för en konstruktion med affin förlängning, kan man uppnå Lipschitz-egenskapen hos den konstruerade homeomorfismen. Men för att den konstruerade kartläggningen ska vara en diffeomorfism bör valet av förlängning till segment göras mer subtilt. ${\displaystyle l_{n))$ $l_{n}/l_{n+1}$ $n\to \pm \infty$ $I}$

Exempel i klassen $C^1$

Exemplet i klassen är konstruerat på ett sådant sätt att derivatan av den konstruerade diffeomorfismen på Cantor-mängden – stängningen av uppsättningen av punkter i den ursprungliga cirkeln – skulle vara lika med 1 (eftersom Lebesgue-måttet på denna mängd är bevarat av den konstruerade diffeomorfismen är detta ett nödvändigt villkor för en sådan konstruktion). Därför är det nödvändigt att välja intervallväxlingsbegränsningarna så att följande villkor uppfylls: $C^1$ $f$ $K$ $I}$ $\varphi _{n}=f|_{I_{n}}:I_{n}\to I_{n+1}$

(D1) Derivatan i slutet av intervallet är 1. $\varphi_n$ $I}$
(D2) Som , derivatorna av mappningarna tenderar enhetligt till 1. $n\to \pm \infty$ $\varphi_n$

Det sista villkoret är nödvändigt, eftersom med tillväxt intervallen ackumuleras till Cantor set . Dessutom är det lätt att se att dessa förhållanden är tillräckliga för att kartan som konstruerats ska vara en -diffeomorfism. $n$ $I}$ $K$ $f$ $C^1$

I kraft av Lagranges teorem finns det en punkt på segmentet vars derivata kommer att vara lika med . Det andra villkoret kräver därför att sekvensen håller $I}$ ${\displaystyle l_{n+1}/l_{n))$ ${\displaystyle l_{n))$

\lim _{n\to \pm \infty }l_{n}/l_{n+1}=1.\qquad (*)

Som det visar sig är detta villkor på längderna för att konstruera -diffeomorfismen också tillräckligt. Mappningarna väljs nämligen enligt följande: på segmenten och , införs koordinater som identifierar dem med segmenten respektive , och mappningen väljs som $C^1$ $\varphi_n$ $I}$ $I_{n+1}$ $[-l_{n}/2,l_{n}/2]$ $[-l_{n+1}/2,l_{n+1}/2]$ $\varphi_n$

\varphi _{n}=F_{l_{n+1}}^{-1}\circ F_{l_{n}},\qquad (**)

var

F_{l}:[-l/2,l/2]\to \mathbb {R} ,\quad F_{l}(x)=l\tan {\frac {\pi x}{l} }.\qquad(***)

En enkel beräkning visar då att derivatan vid vilken punkt som helst avviker från 1 med högst , så villkoret (*) är tillräckligt för att uppfylla det andra nödvändiga villkoret D2. Å andra sidan är det lika lätt att se att villkor D1 också är uppfyllt (det är för detta som tangenten i formeln (***) multiplicerades med l: då är flykthastigheten till oändligheten i ändarna , och beror inte på längden på intervallet l - därför gäller det sammansättningsspecifika identitetskartläggningen). $\varphi_n$ $\mathrm {const} \cdot |1-{\frac {l_{n}}{l_{n+1}}}|$ $1/x$

Valet av valfri sekvens som uppfyller (*) med en konvergent summa - till exempel - fullbordar konstruktionen. ${\displaystyle l_{n))$ $l_{n}=1/(1+n^{2}),$

Exempel i klassen $C^{1+\epsilon }$

Ett exempel i en klass presenteras av konstruktionen som redan beskrivits ovan, men med mer subtila villkor på längderna . Nämligen, som det är lätt att se, kommer den konstruerade diffeomorfismen att ha en Hölderderivata om och endast om derivatorna av alla begränsningar är enhetligt Hölder. Genom att jämföra derivator vid punkter från olika segment kan man faktiskt dela upp denna skillnad med derivator vid mellanliggande ändpunkter (eftersom derivatan i ändpunkten alltid är 1), och använda triangelolikheten (i värsta fall dubbla Hölders konstant) . $C^{1+\varepsilon }$ ${\displaystyle l_{n))$ $\varphi_n$ $n$

Eftersom det finns en punkt på segmentet med en derivata (enligt Lagrangesatsen) och det finns en punkt där derivatan är lika med 1 (detta är slutpunkten), kan Hölderkonstanten för Hölder-exponenten inte vara mindre än $I}$ ${\displaystyle l_{n+1}/l_{n))$ $\varepsilon$

(|1-{\frac {l_{n+1}}{l_{n}}})/l_{n}^{\varepsilon }={\frac {|l_{n+1}-l_ {n}|}{l_{n}^{1+\varepsilon }}}.\qquad (L)

Därför måste uttrycket (L) begränsas till . Som det visar sig är detta begränsningsvillkor tillräckligt: en explicit beräkning visar att den exakta Hölder-konstanten för begränsningen skiljer sig från den lägre skattningen (L) med inte mer än en konstant faktor. För att fullborda konstruktionen återstår att presentera en tvåsidig oändlig sekvens med en konvergent summa, för vilken uttrycket (L) förblir begränsat. Ett exempel på en sådan sekvens är $n\to \pm \infty$ $\varphi_n$ ${\displaystyle l_{n))$

l_{n}={\frac {1}{m\ln ^{2}m)),\quad m=2+|n|,

passar alla samtidigt . $\varepsilon<1$

Presentationen av en sådan sekvens fullbordar konstruktionen - den konstruerade diffeomorfismen tillhör klassen med någon . $C^{1+\varepsilon }$ $\varepsilon <1$

Se även

Länkar

Notes by J. Milnor Introductory Dynamics Lectures , föreläsning "Denjoys sats" (se §15B).

Litteratur

A.B. Katok, B. Hasselblat. Introduktion till teorin om dynamiska system med genomgång av senaste prestationer / Per. från engelska. ed. A.S. Gorodetsky. M.: MTSNMO, 2005. ISBN 5-94057-063-1
M.Herman, Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations. Publications Mathématiques de l'IHÉS, 49 (1979), sid. 5-233.