Principen om enhetlig begränsning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 oktober 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Principen om enhetlig begränsning eller Banach-Steinhaus-satsen är ett grundläggande resultat av funktionsanalys . Satsen säger att punktvis och enhetlig boundedness är likvärdiga för familjer av kontinuerliga linjära operatorer som ges på ett Banach-utrymme .

Historik

Teoremet bevisades av Banach och Steinhaus och oberoende av Hans Hahn .

Formulering

Låt vara ett Banach-rum , vara ett normerat vektorrum , och vara en familj av linjära kontinuerliga operatorer från till . Låt oss anta att för någon $X$ $Y$ $F$ $X$ $Y$ $x\i X$

\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .

Sedan

\sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\ |_{{\mathcal {L}}(X,Y)}<\infty .

Konsekvenser

Om en sekvens av avgränsade operatorer på ett Banach-rum konvergerar punktvis, så är dess punktvisa gräns en avgränsad operator.

Variationer och generaliseringar

Barrel space är den mest allmänna typen av utrymmen där principen om enhetlig begränsning är uppfylld.

Begränsningsprincipen gäller för familjer av avbildningar från till om är ett Baire-rum och är ett lokalt konvext rum . $X$ $Y,$ $X$ $Y$

Referenser

Banach, Stefan & Steinhaus, Hugo (1927), Sur le principe de la condensation de singularités , Fundamenta Mathematicae T. 9: 50–61 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm9/fm918 .pdf > (fr.)
Bourbaki, Nicolas (1987), Topologiska vektorrum , Matematikelement, Springer, ISBN 978-3-540-42338-6
Dieudonné, Jean (1970), Avhandling om analys, volym 2 , Academic Press .
Rudin, Walter (1966), Verklig och komplex analys , McGraw-Hill .
Shtern, AI (2001), Banach–Steinhaus teorem , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 .
Sokal, Alan (2011), Ett riktigt enkelt elementärt bevis på den enhetliga begränsningssatsen , Amer. Matematik. Monthly T. 118: 450-452 , DOI 10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 .
Weinberg M. M. Funktionsanalys. - M .: Utbildning, 1979. - 128 sid.