Pinkerle-derivat

I matematik är Pinkerle-derivatan T' av en linjär operator T : K [ x ] → K [ x ] på ett vektorrum av polynom i en variabel x över ett fält K kommutatorn för operatorn T multiplicerat med x i endomorfismen algebra End( K [ x ]). Te T' är en annan linjär operator T' : K [ x ] → K [ x ]

T':=[T,x]=Tx-xT=-\operatörsnamn {ad} (x)T.

Mer detaljerat, på ett polynom, fungerar denna operator enligt följande: $p(x)$

T'\{p(x)\}=T\{xp(x)\}-xT\{p(x)\}\qquad \forall p(x)\in \mathbb {K} [x ].

Uppkallad efter den italienske matematikern Salvatore Pinkerle .

Egenskaper

Pinkerle-derivatan, som vilken kommutator som helst , är en differentiering som uppfyller regeln om produkt och summa: för alla linjära operatorer som tillhör , $\scriptstyle S$ $\scriptstyle T$ $\scriptstyle \operatörsnamn {Slut} \left(\mathbb {K} [x]\right)$

$\scriptstyle {(T+S)^{\prime }=T^{\prime }+S^{\prime ))$ ;
$\scriptstyle {(TS)^{\prime }=T^{\prime }\!S+TS^{\prime }}$ var är sammansättningen av operatörer ; $\scriptstyle {TS=T\circ S}$

Också var är den vanliga Lie-parentesen , som följer av Jacobi-identiteten . $\scriptstyle {[T,S]^{\prime }=[T^{\prime },S]+[T,S^{\prime }]},$ $\scriptstyle {[T,S]=TS-ST}$

Den ordinarie derivatan, D = d / dx , är en operator på polynom. Direkt beräkning visar att dess Pinkerle-derivat är det

D'=\left({d \over {dx}}\right)'=\operatörsnamn {Id} _{\mathbb {K} [x]}=1.

Genom induktion generaliserar denna formel till

(D^{n})'=\left({{d^{n}} \over {dx^{n}}}\right)'=nD^{n-1}.

Detta bevisar att Pinkerle- derivatet av differentialoperatorn

\partial =\summa a_{n}{{d^{n}} \över {dx^{n}}}=\summa a_{n}D^{n}

är också en differentialoperator, så Pinkerle-derivatan är en härledning . $\scriptstyle \operatörsnamn {Diff} (\mathbb {K} [x])$

Skiftoperatör

S_{h}(f)(x)=f(x+h)

kan spelas in

S_{h}=\sum _{n=0}{{h^{n}} \över {n!}}D^{n}

med hjälp av Taylor-formeln . Då är dess Pinkerle-derivat

S_{h}'=\sum _{n=1}{{h^{n}} \över {(n-1)!}}D^{n-1}=h\cdot S_{h }.

Med andra ord är skiftoperatorerna egenvektorerna för Pinkerle-derivatan, vars spektrum är hela utrymmet av skalärer . $\scriptstyle {\mathbb {K} }$

Om T är skiftinvariant, det vill säga om T pendlar med S h eller , har vi också: , så är skiftinvariant också . $\scriptstyle {[T,S_{h}]=0}$ $\scriptstyle {[T',S_{h}]=0}$ $\scriptstyle T'$ $\scriptstyle h$

Diskret tidsdelta-operator

{\displaystyle (\delta f)(x)={{f(x+h)-f(x)} \över h))

detta är operatören

\delta ={1 \over h}(S_{h}-1),

vars Pinkerle-derivat är skiftoperatorn . $\scriptstyle {\delta '=S_{h))$

Se även

Operatörsbrytare

Länkar

Weisstein, Eric W. Pincherle-derivat . MathWorld—en Wolfram webbresurs.
Biografi om Salvatore Pincherle på MacTutor History of Mathematics-arkivet .

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen