Hopptransport med variabel hopplängd

Hoppning med variabel hopplängd är en modell som används för att beskriva transport av bärare i en oordnad halvledare eller ett amorft fast ämne genom att hoppa över ett utökat temperaturområde [1] . Konduktivitet har ett karakteristiskt temperaturberoende:

\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{\beta }}~,

var:

\beta

är en parameter beroende på den övervägda modellen.

Mott modell

I Motts modell beaktas hopp med variabel längd. Denna modell beskriver lågtemperaturledningsförmåga i mycket oordnade system med lokaliserade tillstånd av laddningsbärare [2] och har ett karakteristiskt temperaturberoende:

\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/4}}

för konduktiviteten hos ett tredimensionellt prov (c = 1/4) och är generaliserat till det dimensionella problemet: $\beta$ $d$

\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/(d+1))))~.

Hoppledning vid låga temperaturer är av stort intresse på grund av de besparingar som halvledarindustrin skulle kunna göra om de kunde ersätta enkristallenheter med amorfa material [3] .

Slutsats

Motts ursprungliga papper introducerar det förenklade antagandet att hoppenergin är omvänt proportionell mot kuben för hoppavståndet (i 3D-fallet). Senare visades det att detta antagande inte är nödvändigt [4] . I den ursprungliga artikeln visades det att sannolikheten för att hoppa mellan lokaliserade tillstånd vid en given temperatur beror på två parametrar: - avståndet mellan noderna och - deras skillnad mellan dessa tillstånds energier. Apsley och Hughes noterade att i ett verkligt amorft system är dessa variabler slumpmässiga och oberoende och kan därför kombineras till en enda parameter, intervallet mellan två noder, som bestämmer sannolikheten för ett hopp. $R$ $W$ $\textstyle {\mathcal {R))$

Mott visade att sannolikheten för att hoppa mellan två tillstånd på avstånd och energiskillnad är: $\textstyle R$ $W$

P\sim \exp \left[-2\alpha R-{\frac {W}{kT}}\right]~,

var:

\alpha^{-1}

är avklingningslängden för en väteliknande lokaliserad vågfunktion.

Det antas att övergången till ett högre energitillstånd är en process som begränsar hoppfrekvensen. Låt oss nu definiera , intervallet mellan två tillstånd, så . Tillstånden kan ses som punkter i en fyrdimensionell slumpmässig matris (tre rumsliga koordinater och en energikoordinat), där "avståndet" mellan dem bestäms av intervallet . $\textstyle {\mathcal {R}}=2\alpha R+W/kT$ $\textstyle P\sim \exp(-{\mathcal {R)))$ $\textstyle {\mathcal {R))$

Konduktivitet är resultatet av många serier av hopp genom denna fyrdimensionella array, och eftersom kortdistanshoppning gynnas är det det genomsnittliga "avståndet" mellan närmaste grannar mellan tillstånden som bestämmer den totala konduktiviteten. Konduktiviteten har således formen:

\sigma \sim \exp(-{\overline {\mathcal {R))}_{nn})~,

var:

\textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}

är det genomsnittliga utbudet av närmaste grannar.

Därför är problemet att beräkna detta värde. Det första steget är att få , det totala antalet tillstånd i intervallet för något initialtillstånd på Fermi-nivån. För -dimensioner och under vissa antaganden visar sig detta vara: $\textstyle {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})$ $\textstyle {\mathcal {R))$ $d$

{\mathcal {N}}({\mathcal {R}})=K{\mathcal {R}}^{d+1}~,

var:

\textstyle K={\frac {N\pi kT}{3\ gånger 2^{d}\alpha ^{d))}~.

Specifika antaganden är att det är mycket mindre än bandgapet och större än det interatomära avståndet. $\textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}$

Då är sannolikheten att ett tillstånd med ett intervall är närmaste granne i det fyrdimensionella rymden (eller i allmänhet ( )-dimensionellt rymden): $\textstyle {\mathcal {R))$ $d+1$

P_{nn}({\mathcal {R}})={\frac {\partial {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})}{\partial {\mathcal {R}} }}\exp[-{\mathcal {N}}({\mathcal {R}})]

är fördelningen av närmaste grannar.

För det dimensionella fallet då: $d$

{\overline {\mathcal {R}}}_{nn}=\int _{0}^{\infty }(d+1)K{\mathcal {R}}^{d+1}\ exp(-K{\mathcal {R}}^{d+1})d{\mathcal {R}}~.

Denna integral kan utvärderas genom att göra en enkel ändring av gammafunktionen , $\textstyle t=K{\mathcal {R}}^{d+1}$ $\textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t$

Efter lite algebra ger detta:

{\overline {\mathcal {R))}_{nn}={\frac {\Gamma ({\frac {d+2}{d+1)))}{K^{\frac {1 }{d+1}}}}}

och därav att:

\sigma \propto \exp \left(-T^{-{\frac {1}{d+1))}\right)~.

Icke-konstant densitet av tillstånd

När tillståndstätheten är icke-konstant (lagen om udda potens N(E)), återhämtar sig Mott-konduktansen som visas i detta dokument .

Efros-Shklovsky hopp med variabel längd

Efros–Shklovsky (ES) hoppning med variabel längd är en ledningsmodell som tar hänsyn till Coulomb-gapet , ett litet hopp i tätheten av tillstånd nära Fermi-nivån på grund av interaktioner mellan lokaliserade elektroner. [5] Den fick sitt namn efter Alexei L. Efros och Boris Sjklovskij , som föreslog den 1975.

Redovisning av Coulomb-gapet ändrar temperaturberoendet till:

\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/2))

för alla dimensioner (dvs. = 1/2). [6] [7] $\beta$

Anteckningar

↑ Hill, R.M. (1976-04-16). Variabel räckviddshoppning. Physica Status Solidi A ]. 34 (2): 601-613. DOI : 10.1002/pssa.2210340223 . ISSN 0031-8965 .
↑ Mott, N.F. (1969). "Ledning i icke-kristallina material". Filosofisk tidskrift . Informa UK Limited. 19 (160): 835-852. DOI : 10.1080/14786436908216338 . ISSN 0031-8086 .
↑ PVE McClintock, DJ Meredith, JK Wigmore. Materia vid låga temperaturer . blackie. 1984 ISBN 0-216-91594-5 .
↑ Apsley, N. (1974). "Temperatur- och fältberoende av hoppledning i störda system". Filosofisk tidskrift . Informa UK Limited. 30 (5): 963-972. DOI : 10.1080/14786437408207250 . ISSN 0031-8086 .
↑ Efros, AL (1975). "Coulomb-gap och lågtemperaturledningsförmåga för oordnade system" . Journal of Physics C : Fasta tillståndets fysik ]. 8 (4): L49. DOI : 10.1088/0022-3719/8/4/003 . ISSN 0022-3719 .
↑ Li, Zhaoguo (2017). "Övergång mellan Efros–Shklovskii och Mott hoppledning med variabel intervall i polykristallina germanium tunna filmer". Halvledarvetenskap och teknik . 32 (3): 035010. doi : 10.1088 /1361-6641/aa5390 .
↑ Rosenbaum, Ralph (1991). "Crossover från Mott till Efros-Shklovskii variabla intervall-hoppningskonduktivitet i InxOy-filmer". Fysisk granskning B. 44 (8): 3599-3603. DOI : 10.1103/physrevb.44.3599 . ISSN 0163-1829 .