Enhet delad

Att partitionera en enhet är en konstruktion som används i topologi för att underlätta arbetet med ett grenrör som med en uppsättning kartor .

Partitioneringsenhet används för att definiera i synnerhet integralen av en differentialform på ett grenrör.

Konstruktion

Låt en öppen täckning av ett topologiskt utrymme av öppna mängder ges . En partition av enhet som är underordnad en täckning är en uppsättning icke-negativa kontinuerliga reella funktioner på , som har följande egenskaper: $M$ $D_{\alpha }$ $\{D_{\alpha }}\}$ ${\displaystyle f_{\beta ))$ $M$

$0\leqslant f_{\beta }\leqslant 1.$
Bäraren för var och en av funktionerna finns helt och hållet i en av uppsättningarna . ${\displaystyle f_{\beta ))$ $D_{\alpha }$
För vilken punkt som helst har vi (det vill säga för alla för högst en räknebar uppsättning funktioner , serien , där konvergerar till 1, skiljer sig också från noll . Denna serie konvergerar absolut, så summan av serien beror inte på ordningen på villkoren). $x\i M$ ${\displaystyle \sum _{\beta }{f_{\beta }(x)=1))$ $x\i M$ $f_{\beta }(x)$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{f_{\beta _{i}}(x)))$ ${\displaystyle \{\beta _{1},\beta _{2},...\}=\{\beta :f_{\beta}(x)\neq 0\))$

Om det för någon punkt existerar ett grannskap så att skärningspunkten är icke- tom för högst ett ändligt antal index , då sägs en sådan enhetsdelning vara lokalt ändlig . $x\i M$ $W\ni x$ ${\displaystyle W\cap \mathrm {supp} \,f_{\beta ))$ $\beta$

Egenskaper

För varje öppet lock av ett parakompakt T 1 -utrymme finns det en lokalt ändlig partition av enhet underordnad den. Omvänt, om det för någon öppen täckning av ett -utrymme finns en enhetsuppdelning som är underordnad den, då är detta utrymme parakompakt. $T_{1}$
För alla öppna lock- grenrör finns det en finit eller räknebar lokalt finit partition av enhet underordnad locket, bestående av funktioner i klassen . $C^\infty$ $C^\infty$

Litteratur

Engelking R. Allmän topologi / översatt av M.Ya.Antonovsky och A.V.Arkhangelsky. — M .: Mir, 1986. — 752 sid.

J. de Ram. Differentiera grenrör / översättning av D.A. Vasilkov. - M . : utländsk litteratur, 1956. - 250 sid.