Exakt sekvens

En exakt sekvens är en sekvens av algebraiska objekt med en sekvens av homomorfismer så att bilden för varje bild sammanfaller med kärnan (om båda homomorfismerna med sådana index existerar). I de flesta tillämpningar spelar kommutativa grupper , ibland vektorrum eller algebror över ringar , en roll . $G_{i}$ $\varphi _{i}\colon G_{i}\rightarrow G_{i+1}$ $i$ $\varphi _{i-1}$ $\varphi _{i}$ $G_{{i}}$

Relaterade definitioner

Exakt typsekvenser $0\longrightarrow A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}B{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0$

kallas korta exakta sekvenser , i detta fall en monomorfism och en epimorfism .

\varphi

\psi

Dessutom, om y har en höger invers morfism eller y har en vänster invers morfism, så kan den identifieras med på ett sådant sätt att den identifieras med den kanoniska inbäddningen i , och med den kanoniska projektionen på . I det här fallet sägs den korta exakta sekvensen vara

splittring .

\varphi

\psi

B

A\oplus C

\varphi

A

A\oplus C

\psi

A\oplus C

C

En lång exakt sekvens är en exakt sekvens med ett oändligt antal objekt och homomorfismer.
Om sedan sekvensen kallas semi-exakt . $\mathrm {Im} \,\varphi _{i}\subset \mathrm {Ker} \,\varphi _{i+1},$

Exempel

I teorin om homotopigrupper är den exakta sekvensen av paret av stor betydelse , i synnerhet den exakta sekvensen av bunten . Om det är en lokalt trivial bunt över med fiber , då är följande sekvens av homotopigrupper exakt [1] : $F\to M\to B$ $B$ $F$

\ldots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(M)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F )\to \ldots \to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(M)\to \pi _{0}(B)

Den exakta Maier-Vietoris-sekvensen är av stor betydelse för att beräkna homologigrupperna i komplexa utrymmen:

{\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n}(A\cap B)\ ,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{* ))}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*))}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n-1}( A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0} (X)\högerpil \,0.\end{aligned}}

Ett kedjekomplex är en halvexakt sekvens av abelska grupper.
Låt vara en lokalt trivial bunt av grenrör . Sedan kopplas den [2] med en kort exakt sekvens av buntar $E\to X$

0\longrightarrow VX\longrightarrow TE\longrightarrow HX\longrightarrow 0

och dess dubbla

0\longleftarrow V^{*}X\longleftarrow T^{*}E\longleftarrow H^{*}X\longleftarrow 0

Här är tangentbunten till grenröret , och är de vertikala och horisontella buntarna av k respektive. betecknar den dubbla bunten ( cotangens , etc.).

TE

E

VX

HX

X

^{*}

Exponentiell exakt sekvens

0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0 ,

där u är en bunt av holomorfa funktioner på ett komplext grenrör och dess underlist består av ingenstans försvinnande funktioner

{\mathcal {O}}_{M}

{\mathcal {O}}_{M}^{*}

M

Litteratur

↑ Spanier E. Algebraisk topologi. — M .: Mir, 1971.
↑ G. A. Sardanashvili Moderna metoder för fältteori. Vol. 1: Geometry and classical fields, - M. : URSS, 1996. - 224 sid.