Teori om funktioner för en reell variabel

Funktionsteorin för en reell variabel ( TFVP eller funktionsteorin för en reell variabel , TFDP ) är en gren av matematisk analys som studerar representationen och approximationen av funktioner , deras lokala och globala egenskaper. Samtidigt, i motsats till den klassiska differential- och integralkalkylen, förlitar sig TFVP på mängdteori och måttteori , använder i stor utsträckning sina begrepp och metoder, vilket gjorde det möjligt att signifikant generalisera de klassiska resultaten, ge dem en rigorös motivering och få nya resultat [1] .

Klassisk analys av 1600- och 1800-talen var huvudsakligen begränsad till studiet av släta eller bitvis släta funktioner . Under andra hälften av 1800-talet blev det tydligt att även mer allmänna funktionsklasser var av praktiskt intresse; det visade sig också att begrepp som kontinuitet , kurvlängd eller ytarea som verkade intuitivt självklara kräver en mer rigorös definition [2] . Problemet löstes med tillkomsten av Lebesgue -måttet och den mängdteoretiska inställningen till begreppet en funktion som en binär relation [1] . Den nya grunden för analys gjorde det möjligt att bevara all tidigare ackumulerad kunskap (även om vissa av formuleringarna måste förtydligas) och att bevisa ett antal nya djupa satser, såsom Heine-Borel-lemma , Ascoli-Arzela- satsen , Weierstrass-Stone-satsen , Fatou-lemma , Lebesgue-satsen om dominerad konvergens och många andra.

TPFT är nära besläktat med sådana grenar av matematiken som geometri , linjär algebra , funktionsanalys , topologi , etc. [3]

Sammansättning av TFVP

Strukturen för TFVP inkluderar olika underavdelningar, bland vilka tre kan särskiljas som de viktigaste [4] [5] :

  1. Beskrivande teori om funktioner. Den studerar de allmänna egenskaperna hos funktionsklasser som erhålls som ett resultat av att de passerar till gränsen . I det här underavsnittet upptäcktes särskilt klasser av Baer-funktioner som är nära besläktade med klassificeringen av Borel-uppsättningar .
  2. Metrisk funktionsteori. Hon studerar egenskaperna hos funktioner baserat på begreppet Lebesgue-måttet av en uppsättning (infört av Henri Lebesgue 1902) och teorin om Lebesgue-integralen . Förutom funktioner studeras här egenskaperna hos derivator , integraler, funktionella serier , en allmän teori om summering av serier och sekvenser byggs upp . Platsen för smidiga funktioner togs av mycket bredare klasser av mätbara , summerbara och generaliserade funktioner .
  3. Teorin om approximation av funktioner (till exempel genom polynom ) [6] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 Mathematical Encyclopedia, 1985 , sid. 688-690.
  2. ↑ Matematik, dess innehåll, metoder och betydelse, 1956 , sid. fyra.
  3. ↑ Natanson, 1974 , sid. 7.
  4. ↑ Mathematical Encyclopedia, 1985 , sid. 689.
  5. ↑ BRE .
  6. ↑ Approximation av funktioner  // Great Russian Encyclopedia  : [i 35 volymer]  / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M .  : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.

Litteratur

Länkar

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk