Grothendieck topologi

Grothendieck-topologin är en struktur på en kategori som får dess objekt att se ut som öppna uppsättningar av ett topologiskt utrymme . En kategori tillsammans med Grothendieck-topologin kallas en situs [1] eller plats [2] .

Grothendiecks topologier axiomatiserar definitionen av ett öppet lock , vilket gör det möjligt att definiera kärvar i kategorier och deras kohomologi , vilket först gjordes av Alexander Grothendieck för étale cohomology of schemes .

Det finns ett naturligt sätt att associera ett topologiskt utrymme med Grothendieck-topologin, i denna mening kan det betraktas som en generalisering av de vanliga topologierna . Samtidigt är det för en stor klass av topologiska utrymmen möjligt att återställa topologin från dess Grothendieck-topologi, men detta är inte fallet för ett antidiskret utrymme .

Definition

Motivation

Den klassiska definitionen av en kärve börjar med något topologiskt utrymme . Den är associerad med kategorin , vars objekt är öppna uppsättningar av topologin, och uppsättningen morfismer mellan två objekt består av ett element om den första uppsättningen är inbäddad i den andra (dessa mappningar kallas öppna inbäddningar), och tom annars. Därefter definieras en presheaf som en kontravariant funktion i kategorin set , och en sheaf definieras som en presheaf som uppfyller limningsaxiomet . Limaxiomet är formulerat i termer av punktvis täckning, det vill säga det täcker om och endast om . Grothendieck-topologierna ersätter var och en med en hel familj av öppna uppsättningar; mer exakt ersätts av den öppna anknytningsfamiljen . En sådan familj kallas en sil . $X$ $OXE)$ $\{U_{i}\}$ $U$ $\bigcup {_{i}}U_{i}=U$ $U_{i}$ $U_{i}$ $V_{ij}\to U_{i}$

Sikt

Om är ett godtyckligt objekt i kategorin , då är gittret en subfunctor till funktorn . I fallet med kategorin är en sikt på en öppen uppsättning en familj av öppna delmängder , stängd under operationen att ta en öppen delmängd. En godtycklig öppen mängd , då är en delmängd av , respektive, den är tom om - inte en delmängd av , och kan annars bestå av ett element; om den inte är tom kan vi anta att den har valts av en såll. Om är en delmängd av , så finns det en morfism , så om den inte är tom är den inte heller tom. $c$ ${\mathcal C}$ $c$ $\mathrm {Hom} (-,c)$ $OXE)$ $S$ $U$ $U$ $V$ $S(V)$ $\mathrm {Hom} (V,U)$ $V$ $U$ $V$ $W$ $V$ $S(V)\to S(W)$ $S(V)$ $S(W)$

Axiom

Grothendieck-topologin på kategorin är valet för varje objekt i kategorin av en uppsättning rutnät på , betecknad med . Elementen kallas täckande galler på . I synnerhet är ett såll på ett öppet set täckande om och bara om föreningen av alla , sådan som inte är tom, är allt . Detta val måste uppfylla följande axiom: $J$ ${\mathcal C}$ $c$ ${\mathcal C}$ $c$ $J(c)$ $J(c)$ $c$ $S$ $U$ $V$ $S(V)$ $U$

basbyte: om är en täcksikt på och är en morfism, så är den omvända bilden av silen under verkan av ( ) en täcksikt på . $S$ $X$ $f:Y\to X$ $f$ $f\ast S$ $Y$
lokal karaktär: om är en täcksikt på , är en godtycklig såll på , och för varje föremål och varje morfism som hör till , den omvända bilden av sållen är en täcksikt på , då är en täcksikt på . $S$ $X$ $T$ $X$ $Y\in \mathrm {Ob} {\mathcal {C}}$ $f:Y\to X$ $S(Y)$ $f\ast T$ $Y$ $T$ $X$
enhet: — Täckande sil för alla föremål i kategorin . $\mathrm {Hom} (-,X)$ $X$ $X$ ${\mathcal C}$

Att byta ut basen motsvarar tanken att om täcker , då täcker . Den lokala karaktären motsvarar det faktum att om omslag och omslag för varje , så täcker alla . Slutligen motsvarar man det faktum att varje mängd kan omfattas av föreningen av alla dess delmängder. $\{U_{i}\}$ $U$ $\{U_{i}\cap V\}$ $U\cap V$ $\{U_{i}\}$ $U$ ${\displaystyle \{V_{ij}\))$ $U_{i}$ $i$ ${\displaystyle \{V_{ij}\))$ $U$

Situs och buntar

I en kategori kan man definiera en kärve med hjälp av limningsaxiomet. Det visar sig att en kärve kan definieras i vilken kategori som helst med Grothendieck-topologin: en kärve på en situs är en kärve så att för vilket objekt och täckande sikt som helst på den naturliga kartan som induceras av inbäddningen i Hom(−, X ) är en bijektion. En morfism mellan skivor, precis som en morfism mellan förskivor, är en naturlig omvandling av funktioner. Kategorin av alla kärvar på en situs kallas Grothendieck topos . Skivor, abeliska grupper, ringar, moduler och andra strukturer definieras på liknande sätt. $OXE)$ $({\mathcal {C)),J)$ $F$ $X$ $S$ $X$ $\mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (-,X),F)\to \mathrm {Hom} (S,F)$ $S$

Med hjälp av Yonedas lemma kan man bevisa att en kärve i den kategori som definieras på detta sätt sammanfaller med en kärve i topologisk mening. $OXE)$

Exempel på situs

Diskret och antidiskret topologi

Den diskreta topologin på en godtycklig kategori ges genom att förklara alla siktar öppna. För att specificera en antidiskret topologi bör endast siktar av formen betraktas som öppna . I den antidiskreta topologin är varje förkärv en kärve. ${\mathcal C}$ $\mathrm {Hom} (-,X)$

Kanonisk topologi

Den kanoniska topologin på en godtycklig kategori är den mest subtila topologin , så att alla representerbara presheaves (formensfunktion är kärvar. En topologi som är mindre tunn (det vill säga en topologi så att varje representativ presheave är en kärve) kallas subkanonisk topologi. , de flesta topologier som påträffas i praktiken är subkanoniska. ${\mathcal C}$ $\mathrm {Hom} (-,X))$

Liten och stor plats associerad med det topologiska rummet

För att jämföra det topologiska utrymmet för en liten plats, i kategorin täcker deklareras sådana siktar att föreningen av alla sådana som är icke-tom sammanfaller med alla . $OXE)$ $S$ $V$ $S(V)$ $U$

En sikt i kategorin topologiska utrymmen kallas en täckande sikt om följande villkor är uppfyllda: $S$ $\mathbf {Överst}$

för alla och morfismer som tillhör , det finns ett objekt och en pil sådan som är en öppen inbäddning, tillhör och går igenom ; $Y$ $f:Y\to X$ $S(Y)$ $V$ $g:V\to X$ $g$ $g$ $S(V)$ $f$ $g$
om är facket , där går igenom , då . $W$ $f(Y)$ $f:Y\to X$ $S(Y)$ $W=X$

För kommakategorin topologiska utrymmen över ett fixerat topologiskt utrymme induceras topologin av kategorin . Den resulterande kategorin kallas den stora situs som är associerad med det topologiska rummet . $X$ $\mathbf {Överst}$ $X$

Topologier för kategorin kretsar

Funktioner mellan platser

Anteckningar

↑ R. Goldblatt. Topoi. Kategorisk analys av logik. - M . : Mir, 1983. - 487 sid.
↑ P. Johnston. Topoi teori. — M .: Nauka, 1986. — 440 sid.

Litteratur

Artin, Michael. Grothendieck-topologier - Harvard University, Dept. i matematik, 1962.
Demazure Michel, Alexandre Grothendieck. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 1 (Föreläsningsanteckningar i matematik 151). — Berlin; New York: Springer-Verlag, 1970. P. xv+564.
Michael Artin, Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Föreläsningsanteckningar i matematik 269). — Berlin; New York: Springer-Verlag, 1972. P. xix+525.