Grothendieck-topologin är en struktur på en kategori som får dess objekt att se ut som öppna uppsättningar av ett topologiskt utrymme . En kategori tillsammans med Grothendieck-topologin kallas en situs [1] eller plats [2] .
Grothendiecks topologier axiomatiserar definitionen av ett öppet lock , vilket gör det möjligt att definiera kärvar i kategorier och deras kohomologi , vilket först gjordes av Alexander Grothendieck för étale cohomology of schemes .
Det finns ett naturligt sätt att associera ett topologiskt utrymme med Grothendieck-topologin, i denna mening kan det betraktas som en generalisering av de vanliga topologierna . Samtidigt är det för en stor klass av topologiska utrymmen möjligt att återställa topologin från dess Grothendieck-topologi, men detta är inte fallet för ett antidiskret utrymme .
Den klassiska definitionen av en kärve börjar med något topologiskt utrymme . Den är associerad med kategorin , vars objekt är öppna uppsättningar av topologin, och uppsättningen morfismer mellan två objekt består av ett element om den första uppsättningen är inbäddad i den andra (dessa mappningar kallas öppna inbäddningar), och tom annars. Därefter definieras en presheaf som en kontravariant funktion i kategorin set , och en sheaf definieras som en presheaf som uppfyller limningsaxiomet . Limaxiomet är formulerat i termer av punktvis täckning, det vill säga det täcker om och endast om . Grothendieck-topologierna ersätter var och en med en hel familj av öppna uppsättningar; mer exakt ersätts av den öppna anknytningsfamiljen . En sådan familj kallas en sil .
Om är ett godtyckligt objekt i kategorin , då är gittret en subfunctor till funktorn . I fallet med kategorin är en sikt på en öppen uppsättning en familj av öppna delmängder , stängd under operationen att ta en öppen delmängd. En godtycklig öppen mängd , då är en delmängd av , respektive, den är tom om - inte en delmängd av , och kan annars bestå av ett element; om den inte är tom kan vi anta att den har valts av en såll. Om är en delmängd av , så finns det en morfism , så om den inte är tom är den inte heller tom.
Grothendieck-topologin på kategorin är valet för varje objekt i kategorin av en uppsättning rutnät på , betecknad med . Elementen kallas täckande galler på . I synnerhet är ett såll på ett öppet set täckande om och bara om föreningen av alla , sådan som inte är tom, är allt . Detta val måste uppfylla följande axiom:
Att byta ut basen motsvarar tanken att om täcker , då täcker . Den lokala karaktären motsvarar det faktum att om omslag och omslag för varje , så täcker alla . Slutligen motsvarar man det faktum att varje mängd kan omfattas av föreningen av alla dess delmängder.
I en kategori kan man definiera en kärve med hjälp av limningsaxiomet. Det visar sig att en kärve kan definieras i vilken kategori som helst med Grothendieck-topologin: en kärve på en situs är en kärve så att för vilket objekt och täckande sikt som helst på den naturliga kartan som induceras av inbäddningen i Hom(−, X ) är en bijektion. En morfism mellan skivor, precis som en morfism mellan förskivor, är en naturlig omvandling av funktioner. Kategorin av alla kärvar på en situs kallas Grothendieck topos . Skivor, abeliska grupper, ringar, moduler och andra strukturer definieras på liknande sätt.
Med hjälp av Yonedas lemma kan man bevisa att en kärve i den kategori som definieras på detta sätt sammanfaller med en kärve i topologisk mening.
Den diskreta topologin på en godtycklig kategori ges genom att förklara alla siktar öppna. För att specificera en antidiskret topologi bör endast siktar av formen betraktas som öppna . I den antidiskreta topologin är varje förkärv en kärve.
Den kanoniska topologin på en godtycklig kategori är den mest subtila topologin , så att alla representerbara presheaves (formensfunktion är kärvar. En topologi som är mindre tunn (det vill säga en topologi så att varje representativ presheave är en kärve) kallas subkanonisk topologi. , de flesta topologier som påträffas i praktiken är subkanoniska.
För att jämföra det topologiska utrymmet för en liten plats, i kategorin täcker deklareras sådana siktar att föreningen av alla sådana som är icke-tom sammanfaller med alla .
En sikt i kategorin topologiska utrymmen kallas en täckande sikt om följande villkor är uppfyllda:
För kommakategorin topologiska utrymmen över ett fixerat topologiskt utrymme induceras topologin av kategorin . Den resulterande kategorin kallas den stora situs som är associerad med det topologiska rummet .