Krökningstensor

Den Riemannska krökningstensorn (kallas ibland Riemann–Christoffel krökningstensorn ) är ett standardsätt att uttrycka krökningen av Riemannska grenrör , och mer allmänt av godtyckliga grenrör med en affin anslutning , torsionsfri eller med torsion.

Uppkallad efter Bernhard Riemann .

Definition

Krökningstensorn definieras som en linjär transformation av tangentrymden vid varje punkt i grenröret, vilket kännetecknar förändringen i vektorn , överförd parallellt längs ett oändligt sluten parallellogram som sträcks av vektorerna . $R(u,\;v)$ $u,\;v$

Krökningstensoren uttrycks i termer av Levi-Civita-kopplingen , eller i allmänhet den affina kopplingen (som också kallas den kovarianta derivatan ) enligt följande: $\nabla$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{{[u,\;v] }}w,

var är Lie-parentesen . $[u,\;v]$

Om vektorfälten ges genom differentiering med avseende på koordinaterna , och , och därför pendlar ( ), tar formeln en förenklad form: $u=\partial /\partial x_{i}$ $v=\partial /\partial x_{j}$ $[u,\;v]=0$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w,

sålunda mäter krökningstensorn icke-kommutativiteten hos kovarianta derivator .

Notera. Vissa författare definierar krökningstensorn med motsatt tecken

Relaterade definitioner

Den linjära transformationen kallas krökningstransformationen . $w\mapsto R(u,\;v)w$
Om och är två vinkelräta enhetsvektorer vid punkten , beror uttrycket endast på planet vid , som spänns av och . $u$ $v$ $sid$ $\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle$ $\sigma$ $T_{p}$ $u$ $v$
- Planet kallas sektionsriktningen . $\sigma$
- Storleken kallas sektionskrökning i riktningen och betecknas vanligtvis med . $\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle$ $\sigma$ $K_{\sigma }$

Komponenter i krökningstensorn

I koordinatsystemet definieras krökningstensorns komponenter enligt följande: $x^{\mu}$

{R^{\rho }}_{{\sigma \mu \nu }}=dx^{\rho }(R(\partial _{{\mu }}),\;\partial _{{\nu} } )\partial_{{\sigma }}),

där är ett vektorfält som tangerar koordinatlinjen vid varje punkt . När det gäller Christoffel-symboler : $\partial _{{\mu }}=\partial /\partial x^{{\mu }}$ $x^{\mu}$

{R^{\rho }}_{{\sigma \mu \nu }}=\partial _{\mu }\Gamma _{{\nu \sigma }}^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{{\mu \sigma }}^{\rho }+\Gamma _({\mu \lambda }}^{\rho }\Gamma _({\nu \sigma }}^{\lambda } -\Gamma _{{\nu \lambda }}^{\rho }\Gamma _{{\mu \sigma }}^{\lambda }.

I tvådimensionellt utrymme är den enda icke-triviala komponenten den Gaussiska krökningen .

Symmetrier

Riemanns krökningstensor har följande symmetriegenskaper:

R(u,\;v)=-R(v,\;u);

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =-\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle ;

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

Den sista identiteten upptäcktes av Ricci , även om den kallas den första Bianchi-identiteten eller den algebraiska Bianchi-identiteten .

Dessa tre identiteter definierar den kompletta uppsättningen av symmetrier för krökningstensorn, det vill säga för varje tensor som uppfyller dessa relationer kan man hitta en Riemann-manifold vars krökning beskrivs av denna tensor. En enkel kombinatorisk beräkning visar att krökningstensorn måste ha oberoende komponenter. $n^{2}(n^{2}-1)/12$

En annan användbar relation följer av dessa tre identiteter:

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =\langle R(w,\;z)u,\;v\rangle .

Bianchi-identiteten (även kallad den andra Bianchi-identiteten eller Bianchi- differentiella identiteten ) involverar kovarianta derivat:

\nabla _{u}R(v,\;w)+\nabla _{v}R(w,\;u)+\nabla _{w}R(u,\;v)=0.

I ett givet koordinatsystem i närheten av någon punkt av grenröret kan ovanstående identiteter i komponenterna i krökningstensorn skrivas enligt följande. Parenteser betecknar symmetri ; sänkningarna efter semikolon betyder den kovarianta derivatan.

R_{{abcd}}=-R_{{bacd}}=-R_{{abdc}};

R_{{abcd}}=R_{{cdab}};

R_{{a(bcd)}}=R_{{abcd}}+R_{{acdb}}+R_{{adbc}}=0

(den första Bianchi-identiteten);

R_{{ab(cd;e)}}=R_{{abcd;e}}+R_{{abde;c}}+R_{{abec;d}}=0

(den andra Bianchi-identiteten).

Se även

Litteratur

Burago Yu. D., Zalgaller V. A. Introduktion till Riemannsk geometri. - St. Petersburg: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .