Fritt fält

Ett fritt fält är ett fysiskt fält vars kvanta är icke-interagerande partiklar och som beskrivs i termer av energi och momentum. [1] Fria fält motsvarar olika partiklar, som representerar grunden för att beskriva dessa partiklar inom ramen för teorin om interagerande fält. [2]

Beskrivning

I klassisk fysik är ett fritt fält ett fält vars rörelseekvationer ges av linjära partiella differentialekvationer (PDE). [1] De har en unik lösning för ett givet initialtillstånd.

I kvantfältteorin är ett kvantiserat fält matematiskt beskrivet av generaliserade funktioner med operatorvärden ett fritt fält om det uppfyller någon linjär PDE, så att motsvarande fall av samma linjära PDE för ett klassiskt fält blir Euler -Lagrange-ekvation för någon kvadratisk Lagrangian . [1] Vi kan differentiera dessa generaliserade funktioner genom att definiera deras derivator i termer av differentierade generaliserade funktioner . Se generisk funktion för mer information. Eftersom vi inte har att göra med vanliga generiska funktioner, utan med generiska funktioner, med operatörsvärden, är det tydligt att dessa PDE:er inte är restriktioner för tillstånd, utan istället beskriver relationer mellan utökade fält. Förutom PDE uppfyller operatörerna även en annan relation, kommuterings- och antikommuteringsrelationerna.

Kanonisk kommuteringsrelation

Vanligtvis en kommutator (för bosoner ) eller en anti- kommutator för fermioner , för två utökade fält finns produkten av tider inom Peierls parentes fältet med sig själv (vilket beskrivs av en riktigt generaliserad, inte en vanlig funktion), för den partiella differentialekvationen för de generaliserade utökade funktionsfälten. Matematiskt beskrivs detta av CCR och CAR algebra . $i$

CCR/CAR-algebror med oändligt många frihetsgrader har många icke-likvärdiga irreducerbara enhetsrepresentationer. Om teorin definieras över Minkowski space , kan vi välja en enhetlig irreducerbar representation som innehåller vakuumtillståndet , även om detta inte alltid är nödvändigt.

Exempel

Låt vara en generaliserad funktion med ett operatorvärde och PDE (Klein-Gordon): $\phi$

\partial ^{\mu}\partial _{\mu}\phi +m^{2}\phi =0

Detta är det bosoniska fältet. Definiera en generaliserad funktion med Peierls parenteser $\Delta$

Sedan,

\{\phi (x),\phi (y)\}=\Delta (x;y)

var är det klassiska fältet och är Peierls-parenteserna. $\phi$ ${\displaystyle \{,\))$

Sedan den kanoniska kommuteringsrelationen

[\phi [f],\phi [g]]=i\Delta [f,g]\,

Observera att det är en generaliserad funktion med två argument och kan utökas oändligt. $\Delta$

På samma sätt skulle vi kunna insistera på det

{\mathcal {T}}\{[((\partial ^{\mu}\partial _{\mu }+m^{2})\phi )[f],\phi [g]]\ }=-i\int d^{d}xf(x)g(x)

var är tidsbeställningsoperatorn och och är åtskilda av ett rymdliknande fyrdimensionellt intervall . $\mathcal{T}$ $f$ $g$

[\phi [f],\phi [g]]=0

Se även

Normal beställning
Wicks teorem (i kvantelektrodynamik)

Anteckningar

↑ 1 2 3 Thirring, 1964 , sid. 53.
↑ Bogolyubov, 1957 , sid. 26.

Litteratur

Walter E. Thirring . Principer för kvantelektrodynamik. - M . : Högre skola, 1964. - 226 sid.
N.N. Bogolyubov och D.V. Shirkov . Introduktion till teorin om kvantiserade fält. - M . : Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1957. - 441 sid.