Anslutning (differentiell geometri)
En koppling är en struktur på en slät bunt som består av valet av en "horisontell riktning" vid varje punkt i buntens utrymme.
Mer exakt: Låt en jämn bunt ges , kopplingen är en underbunt av tangentbunten över , så att för varje punkt projektionen
här betecknar differentialen vid punkten .
Anslutningen gör det möjligt att skilja buntens sektioner längs riktningen.
Anslutning gör att du kan definiera en parallell sektion längs en kurva i basen av bunten. I synnerhet gör kopplingen det möjligt att konstruera en kanonisk trivialisering av en bunt över en kurva (som inte har några självkorsningar), men det är möjligt att konstruera en kanonisk trivialisering för en bunt över ett grenrör i något område om och bara om krökningstensor för den givna anslutningen försvinner där . I fysiskt språk, i termer av rum-tid, säger detta att det är möjligt att introducera en lokal Lorentz referensram längs en godtycklig icke-självkorsande kurva, men inte i närheten av en punkt om krökningstensorn för denna grannskap är icke-noll.
Namnkopplingen kommer från det faktum att den förbinder tangentutrymmen på olika punkter i grenröret. Det är kopplingen som organiserar tangentbuntens struktur . Enkelt uttryckt låter anslutning dig överföra geometriska objekt från en punkt i grenröret till en annan och är nödvändigt för att jämföra objekt på olika punkter i grenröret.
Anslutningstyper
- En affin anslutning är en linjär anslutning på tangentbunten av ett grenrör.
- En Levi-Civita-koppling är en affin koppling med noll vridning på ett Riemannsk (eller pseudo-Riemannskt ) grenrör med avseende på vilket den metriska tensorn är kovariant konstant.
