Omvänd funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 juli 2022; kontroller kräver 13 redigeringar .

En invers funktion är en funktion som inverterar beroendet uttryckt av den givna funktionen. Till exempel, om en funktion av x ger y , så ger dess inversa funktion av y x . Inversen av en funktion betecknas vanligtvis , ibland används också notationen . $f$ $f^{-1}$ $f^{\mathrm{inv))$

En funktion som har en invers kallas reversibel .

Definition

En funktion kallas invers till en funktion om följande identiteter håller: $g:Y\till X$ $f:X\till Y$

$f(g(y))=y$ för alla $y\in Y;$
$g(f(x))=x$ för alla $x\i X.$

Relaterade definitioner

En funktion kallas den vänstra inversen av en funktion om för alla . $g:Y\till X$ $f:X\till Y$ $g(f(x))=x$ $x\i X$
Funktionen kallas den högra inversen av funktionen om för alla [1] . $g:Y\till X$ $f:X\till Y$ $f(g(y))=y$ $y\i Y$

Existens

För att hitta den inversa funktionen måste du lösa ekvationen för . Om den har mer än en rot, så finns det ingen invers funktion. Således är en funktion inverterbar på ett intervall om och endast om den är en-till-en på detta intervall . $y = f(x)$ $x$ $f$ $f(x)$ $(a;b)$

För en kontinuerlig funktion är det möjligt att uttrycka från en ekvation om och endast om funktionen är strikt monoton (se den implicita funktionssatsen ). En kontinuerlig funktion kan dock alltid inverteras med intervaller av dess strikta monotoni. Till exempel är den inversa funktionen av k på , även om den inversa funktionen är annorlunda på intervallet: . $F(y)$ $y$ $x - F(y) = 0$ $F(y)$ $\sqrt{x}$ $x^{2}$ $[0, +\infty)$ $(-\infty, 0]$ $-\sqrt{x}$

För existensen av en invers funktion är varken kontinuitet eller monotonitet av den ursprungliga funktionen nödvändig. Exempel: funktionen där Dirichlet-funktionen är diskontinuerlig och inte monoton, men inversen finns för den [2] : $y=x+D(x),$ $D(x)$ $x=yD(y).$

Exempel

Om , någonstans $F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = a^x$ $a>0,a\neq 1,$ $F^{-1}(x) = \log_a x.$
Om , där är fasta konstanter och , då $F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}$ $a,b\in \mathbb{R}$ $a \neq 0$ $F^{-1}(x) = \frac{xb}{a}.$
Om , då $F(x)=x^n,x \ge 0, n\in \mathbb Z$ $F^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}.$

Egenskaper

Domänen är uppsättningen och domänen är uppsättningen . $F^{-1}$ $Y$ $X$
Genom konstruktion har vi:

y = F(x) \Vänsterhögerpil x = F^{-1}(y)

eller

F\vänster(F^{-1}(y)\höger) = y,\; \forall y \in Y

F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \i X

eller kortare

F \cirkel F^{-1} = \mathrm{id}_Y

F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X

där betecknar sammansättningen av funktioner , och är identiska mappningar till respektive . $\cirkel$ $\mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y$ $X$ $Y$

En sådan mappning som ("höger invers") kallas en sektion av mappningen . $G\colon \,Y\to X$ $F\circ G=\mathrm {id} _{Y}$ $F$

Funktionen är omvänd till : $F$ $F^{-1}$

\left(F^{-1}\right)^{-1} = F

Låt vara en bijektion. Låt dess omvända funktion. Då är graferna för funktionerna och symmetriska med avseende på den räta linjen . $F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R}$ $F^{-1}:Y \till X$ $y = F(x)$ $y = F^{-1}(x)$ $y=x$
Dessutom, om en funktion har en invers till den , kommer graferna för dessa funktioner att vara symmetriska kring linjen . $f(x)$ $f^{-1}(x)$ $y=x$

Teorem . Sammansättningen av två inverterbara funktioner är en inverterbar funktion, det vill säga . ${\displaystyle {\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1))$

Bevis
Eftersom och för varje reversibel funktion , var är identitetstransformationen, kan vi skriva följande likheter. $\alpha \circ {\alpha }^{-1}={\alpha }^{-1}\circ \alpha =e$ $\alpha \circ e=e\circ \alpha =\alpha$ $\alfa$ $e$ Vi har: $e=e\Longleftrightarrow e=f\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=f\circ g\circ g^{-1}\circ f^{-1}\Longleftrightarrow e=\left( f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right).$ Låt oss agera till vänster vid funktionen och få: Satsen är bevisad. ${\displaystyle {\left(f\circ g\right)}^{-1))$ ${\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \mid e=\left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f ^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ e={\left(f\circ g\right)}^{-1}\circ \left(f\circ g\right)\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1 }=e\circ \left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\Longleftrightarrow {\left(f\circ g\right)}^{-1}=g^{-1 }\circf^{-1}.$

Detta uttalande är lätt att komma ihåg så här: " Jackan tas på efter skjortan och tas av före ."

Power series expansion

Den inversa funktionen av en analytisk funktion i någon del av en punkt kan representeras som en potensserie : $x_{0}$

f^{-1}(y)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(x_{0}){\frac {(yf(x_{0}))^ {k}}{k!}},

där funktionerna ges av den rekursiva formeln: $A_k$

A_{n}(x)={\begin{cases}x\;,\;n=0\\{\frac {A_{n-1}'(x)}{f'(x)} }\;,\;n>0\end{fall}}

Se även

Anteckningar

↑ Kulikov L.Ya. "Algebra och talteori: Lärobok för pedagogiska institut"
↑ Shibinsky V. M. Exempel och motexempel under loppet av matematisk analys. Handledning. - M . : Högre skola, 2007. - S. 29-30. — 543 sid. - ISBN 978-5-06-005774-4 .