Signatur (linjär algebra)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 november 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

I linjär algebra är en signatur ett numeriskt kännetecken för en kvadratisk form eller pseudo-euklidiskt utrymme där den skalära produkten ges av motsvarande kvadratiska form.

Definition

Varje kvadratisk form med reella koefficienter kan reduceras genom en icke-degenererad linjär förändring av variabler till den kanoniska formen

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{{p+1}}^{2}-x_{{p+2} }^{2}-\cdots -x_{{p+q}}^{2}.

Skillnaden mellan antalet positiva och negativa termer i denna notation kallas signaturen för den kvadratiska formen. Siffrorna p och q i signaturen beror inte på sätten att föra formen till den kanoniska formen ( Sylvesters tröghetslag ). $pq$

Signaturen för en kvadratisk form skrivs också som ett par siffror eller som ett lämpligt antal plus och minus. $(p,q)$ $(+\cdots+-\cdots-)$

Exempel

En kvadratisk form i två variabler kan reduceras till en kanonisk form , till exempel genom att använda en linjär förändring av variabler: $x_{1}x_{2}$ ${\tilde x}_{1}^{2}-{\tilde x}_{2}^{2},$

$x_{1}=({\tilde {x}}_{1}+{\tilde {x}}_{2}),$ $x_{2}=({\tilde {x}}_{1}-{\tilde {x}}_{2}).$

Signaturen för denna kvadratiska form är noll, eller så kan den skrivas som eller som $(1.1)$ $(+-).$

Se även

Litteratur

Maltsev AI Grunderna i linjär algebra. — M.: Nauka, 1975.
Gelfand I. M. Föreläsningar om linjär algebra. — M.: Nauka, 1971.
Faddeev D. K. Föreläsningar om algebra. — M.: Nauka, 1984.
V. A. Ilyin, E. G. Poznyak linjär algebra, M.: M.: Nauka, Fizmatlit, 1999.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. — M.: Fizmatlit, 2009.