Steinersymmetrisering

En Steinersymmetrisering är en konstruktion av en viss typ som associerar en godtycklig figur med en figur med spegelsymmetri. Denna konstruktion används för att lösa det isoperimetriska problem som föreslogs av Jakob Steiner 1838.

På basis av Steinersymmetriseringen konstruerades andra symmetriseringar, som används i liknande problem.

Definition

Låt det finnas ett hyperplan och var en given figur i . $H\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\Phi$ $\mathbb {R} ^{n}$

Låt oss introducera ett ortogonalt koordinatsystem, i vilket beskrivs av ekvationen . För varje punkt , låt beteckna längden av skärningspunkten för vinkelrät ritad till genom , med mängden . Därefter ritar vi genom ett längdsegment med en mittpunkt vid , vinkelrätt mot . Föreningen av sådana segment är Steinersymmetriseringen med avseende på . $H$ $x_{n}=0$ $x\i H$ $\ell _{x}$ $H$ $x$ $\Phi$ $x$ $\ell _{x}$ $x$ $H$ $\Phi ^{*}$ $\Phi$ $H$

Egenskaper

Volymen är samma som volymen . $\Phi ^{*}$ $\Phi$

Ytan överstiger inte ytan . $\Phi ^{*}$ $\Phi$
- Om en konvex kropp, då jämlikheten av ytareor och uppnås endast om den är spegelsymmetrisk med avseende på hyperplanet parallellt med symmetrisplanet. $\Phi$ $\Phi ^{*}$ $\Phi$ $\Phi$
- I det allmänna fallet kan likhet uppnås inte bara för spegelsymmetriska sådana , till exempel uppnås likhet för plana figurer som består av två rektanglar med baser parallella med den direkta symmetriseringen. $\Phi$

Om det är konvext gäller detsamma för . $\Phi$ $\Phi ^{*}$

Steinersymmetriseringen ökar inte Hausdorff-avståndet mellan figurer, det vill säga $d_{H}(\Phi ,\Psi )\geq d_{H}(\Phi ^{*},\Psi ^{*}),$

var och är godtyckliga figurer, och är deras symmetriseringar med avseende på samma hyperplan, och är Hausdorff-metriken .

\Phi

\psi

\Phi ^{*}

\Psi ^{*}

d_{H}

Om , då . $\Phi \subset \Psi$ $\Phi ^{*}\subset \Psi ^{*}$

Variationer och generaliseringar

Symmetriisering av Polya (cirkulär).
Axiell symmetri liknar Steinersymmetriseringen, men ger en figur som är invariant vid rotationer runt en given linje.

Litteratur

Blaschke . Cirkel och boll . - M . : Nauka, 1967.