Symmetrisk monoidal kategori

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 september 2021; verifiering kräver 1 redigering .

I kategoriteorin är en symmetrisk monoidal kategori en monoidal kategori där tensorproduktoperationen är "så kommutativ som möjligt". I en symmetrisk monoidal kategori väljs en isomorfism för alla objekt , och alla dessa isomorfismer bildar tillsammans en naturlig familj. $\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$

Formell definition

En symmetrisk monoidal kategori är en monoidal kategori där en isomorfism väljs för vilka två objekt som helst och , och följande hexagonala diagram pendlar också : $\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$ $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}=Id$

Exempel

Varje kartesisk sluten kategori är en symmetrisk sluten monoidal kategori. Detta ger exempel som Set och Cat (kategorin uppsättningar och kategorin små kategorier).
Vektorrum över ett fast fält k med tensorprodukt bildar en monoidal kategori. Kartläggningen , definierad på brytbara element i formen och utökad med linjäritet, definierar uppenbarligen strukturen för en symmetrisk monoidal kategori på den. $V\otimes W\to W\otimes V$ $v\otimes w$

Monoidala kategorier med knutning

Den knutna monoidala kategorin är en generalisering av den symmetriska monoidala kategorin; det kräver inte längre det . Men istället för kommutativiteten för ett hexagonalt diagram, måste man kräva kommutativiteten för två: $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id))$

I det symmetriska fallet pendlar båda dessa diagram också, men kommutativiteten för en av dem följer av kommutativiteten hos den andra och egenskapen . $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id))$

Namnet flätad monoidal kategori kommer från flätgruppen . Dessa begrepp är faktiskt djupt sammanflätade. För en monoidal kategori med knutning, såväl som för en vanlig monoidal kategori, är koherenssatsen sann, som säger att alla diagram på pilarna vars sammansättningar och inverser skrivs är kommutativa. Mer exakt sägs det att i en monoidal knutningskategori B är två valfria naturligt isomorfa funktorer från B n till B konstruerade från tillämpningar till argument och parenteser naturligt isomorfa på ett unikt , kanoniskt sätt. Varje pil, på vilken transformationen är skriven, sammansatt av ovanstående symboler, kan associeras med ett element i flätgruppen (till exempel är transformationen associerad med "vridning" av två trådar, det är lätt att se att ) . Det visar sig att två sådana funktioner är naturligt isomorfa om de motsvarar samma element i flätgruppen. $\gamma ,\alpha ,\lambda ,\rho ,e,\otimes ,{\text{Id))$ $\ ibland$ $\gamma$ $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}\neq {\text{Id))$

Symmetriska monoidala funktorer

En monoidal funktion F mellan symmetriska monoidala kategorier C och D kallas symmetrisk om motsvarande naturliga transformation pendlar med , det vill säga för alla A , B i kategori C pendlar följande diagram: $\phi$ $\lambda$

Symmetriska monoidala naturliga transformationer

En monoid naturlig transformation mellan monoidala funktioner och mellan monoida kategorier: är en naturlig transformation så att följande två diagram pendlar: $(F,\Phi ,\phi )$ $(G,\Gamma ,\gamma )$ $C\to D$ $\alpha :C\to D$

Symmetriska monoida naturliga transformationer kräver inga ytterligare villkor förutom att de verkar mellan symmetriska monoidala funktioner.

Monoidal ekvivalens

C och D är symmetriskt monoidalt ekvivalenta kategorier om det finns symmetriska monoidala funktorer och symmetriska monoidala naturliga isomorfismer och . $F:C\to D$ $G:D\to C$ $FG\Leftarrow 1_{C}$ $GF\Leftarrow 1_{D}$

MacLane bevisade ett teorem att varje symmetrisk monoidal kategori är monoidalt (symmetriskt) ekvivalent med en strikt monoidal (och symmetrisk) kategori.

Precis som 2-kategorin av små kategorier definieras, kan man definiera 2-kategorier av små monoida kategorier och små symmetriska monoida kategorier, med lämpliga funktioner och naturliga transformationer.

Anteckningar och länkar

Kelly, GM "Basic Concepts of Enriched Category Theory" , London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (CUP, 1982)
Joyal, Andre ; Street, Ross (1993). Flätade Tensorkategorier. Advances in Mathematics 102 , 20-78.
John C. Baez , [ http://math.ucr.edu/home/baez/qg-fall2004/definitions.pdf Några definitioner som alla borde veta]
Symmetriska monoida kategorier på nLab