Slater determinant

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 18 april 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Slater - determinanten eller Slater-determinanten är en vågfunktion av ett kvantmekaniskt system med många partiklar som är antisymmetriskt med avseende på permutation av partiklar och är byggt av enpartikelfunktioner.

Slater-determinanten ger ett enkelt sätt att konstruera den antisymmetriska funktion som behövs för att beskriva system som består av många fermioner . För att göra detta, använd egenskapen för determinanten för att ändra tecken vid omarrangering av kolumner.

Fall

Tvåpartikelhölje

Det enklaste sättet att approximera en vågfunktion med många partiklar är att ta produkten av väl valda enpartikelvågsfunktioner. För fallet med två partiklar får vi

\Psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2})=\psi _{1}({\mathbf {r}}_{1})\psi _ {2}({\mathbf {r}}_{2}).

Detta uttryck används i Hartree-metoden som en ansatz för multipartikelvågsfunktionen och är känt som Hartree-produkten, även om det inte är tillfredsställande för fermioner, till exempel för elektroner, eftersom en sådan vågfunktion inte är antisymmetrisk, dvs. jämlikheten

\Psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2})=-\Psi ({\mathbf {r}}_{2},{\mathbf {r} }_{ett}).

Av denna anledning uppfyller Hartree-produkten inte principen om att partiklarna inte kan skiljas åt. Detta problem kan lösas genom att ta en linjär kombination av båda Hartree-produkterna:

\Psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2})={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\{\psi _{ 1}({\mathbf {r}}_{1})\psi _{2}({\mathbf {r}}_{2})-\psi _{1}({\mathbf {r}}_ {2})\psi _{2}({\mathbf {r}}_{1})\}

={\frac {1}{{\sqrt 2}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}({\mathbf {r}}_{1})&\psi _{2}({\ mathbf {r}}_{1})\\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{2})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{2} )\end{vmatrix}}

Här är multiplikatorn normaliseringsfaktorn. En sådan vågfunktion är antisymmetrisk. Dessutom blir det noll om två vågfunktioner är lika. En konsekvens av detta är Paulis uteslutningsprincip . ${\frac {1}{{\sqrt {2))))$

Generalisering

Slater-determinanten för ett system av identiska partiklar konstrueras enligt följande. En uppsättning linjärt oberoende en-partikelvågfunktioner tas . Den antisymmetriska vågfunktionen kommer att ha formen $N$ $N$ $\psi _{i}({\mathbf {r}})$

\psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2},\ldots,{\mathbf {r}}_{i},\ldots,{\mathbf {r } }}_{N})={\frac {1}{{\sqrt {N!}}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{1}({\mathbf {r}}_ { 1})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{1})&\ldots &\psi _{i}({\mathbf {r}}_{1})&\ldots & \psi _{N}({\mathbf {r}}_{1})\\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{2})&\psi _{2}({ \ mathbf {r}}_{2})&\ldots &\psi _{i}({\mathbf {r}}_{2})&\ldots &\psi _{N}({\mathbf {r } }_{2})\\&&&\vdots \\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{i})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{ i })&\ldots &\psi _{i}({\mathbf {r}}_{i})&\ldots &\psi _{N}({\mathbf {r}}_{i})\ \ &&&\vdots \\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{N})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{N})&\ldots &\ psi _{i}({\mathbf {r}}_{N})&\ldots &\psi _{N}({\mathbf {r}}_{N})\end{matrix}}\right|

Således ges den allmänna antisymmetriska formen av vågfunktionen. Vanligtvis är enpartikelvågfunktioner antingen okända eller har okända parametrar, som bestäms genom att lösa Schrödinger-ekvationen , till exempel med variationsmetoden . En sådan procedur används i synnerhet i Hartree-Fock-metoden för självkonsekventa kvantmekaniska beräkningar. $\psi _{i}({\mathbf {r}})$