Perfekt set

En perfekt uppsättning är en sluten uppsättning som inte har isolerade punkter , det vill säga den sammanfaller med uppsättningen av alla dess gränspunkter.

Exempel

Det klassiska exemplet på en ingenstans tät, perfekt uppsättning är Cantor-setet .

Egenskaper

Varje icke-tom perfekt uppsättning av euklidisk rymd har kontinuumets kardinalitet (en generalisering av Cantors teorem att varje perfekt uppsättning på ett segment av den reella axeln har kontinuumets kardinalitet) [1] .
Uppsättningen av kondenseringspunkter för alla uppsättningar är perfekta.

Cantor-Bendixons sats

Cantor-Bendixon-satsen är ett uttalande om strukturen av alla oräkneliga slutna mängder . Denna sats är generaliserad till fallet med delmängder av ett metriskt rum med en räknebar bas (se Lindelöfs sats )

Formulering

Varje oräknelig sluten uppsättning är summan av en perfekt uppsättning av dess kondensationspunkter och inte mer än en räknebar uppsättning andra punkter. $M$

Bevis

Beviset bygger på tre satser. Det följer av satser 2 och 3. För att bevisa det räcker det med att notera att mängden kondensationspunkter på grund av slutenheten hos . $N\subset M$ $M$

Sats 1

För att en punkt ska vara en kondenseringspunkt av mängden är det nödvändigt och tillräckligt att varje rationell grannskap av punkten innehåller en oräknelig uppsättning punkter från . $a$ $M$ $a$ $M$

Förklaringar

En rationell grannskap av en punkt är vilket intervall som helst med rationella ändar som innehåller denna punkt, som kanske inte är mitten av intervallet. $a$

Bevis Nödvändighet

Låt vara en kondenseringspunkt och vara en godtycklig rationell grannskap av punkten . Låt oss välja . Då kommer området till punkten att falla helt och hållet i . Eftersom är en kondenseringspunkt kommer , och därmed och , att innehålla en oräknelig uppsättning punkter från . $a$ $(r',r'')$ $a$ $\delta <\min(|r'-a|,|r''-a|)$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $a$ $(r',r'')$ $a$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $(r',r'')$ $M$

Tillräcklighet

Låt varje rationell grannskap av en punkt innehålla en oräknelig uppsättning punkter från . Betrakta en godtycklig grannskap av punkten och låt och vara två rationella tal placerade respektive mellan och och mellan och . Då kommer ett helt rationellt kvarter att falla in i kvarteret och tillsammans med det en oräknelig uppsättning poäng från . Men det betyder att det finns en kondenspunkt. $a$ $M$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $a$ $r'$ $r''$ $a-\delta$ $a$ $a$ $a+\delta$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $(r',r'')$ $M$ $a$

Sats 2 Formulering

Varje oräknelig uppsättning innehåller en oräknelig uppsättning av dess kondensationspunkter . $M$

Bevis

Låta vara en uppsättning punkter från som inte är kondensationspunkter av uppsättningen . Om , så finns det inget att bevisa. Låt och . Eftersom det inte är en kondenseringspunkt, finns det en rationell grannskap av punkten som innehåller högst en räknebar uppsättning punkter från , inklusive punkter från . Således kan hela uppsättningen inneslutas i något system av rationella intervall, som var och en inte innehåller mer än ett räknebart antal poäng från . Eftersom det finns en räknebar uppsättning av alla rationella intervall, följer att den också på sin höjd är räknbar. Sedan - uppsättningen av kondenseringspunkter för uppsättningen är oräknelig. $R$ $M$ $M$ $R=\varnothing$ $R\neq \varnothing$ $x \i R$ $x$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $M$ $R$ $R$ $R$ $R$ $M\backslash R$ $M$

Sats 3 Formulering

Uppsättningen av kondenseringspunkter för en oräknelig uppsättning är perfekt. $N$ $M$

Bevis

Låt oss först visa att det är stängt. Låt och vara ett godtyckligt rationellt intervall som innehåller punkten . För ett tillräckligt litet intervall kommer intervallet att falla helt inom . Eftersom det är en gränspunkt för en uppsättning kondenseringspunkter, innehåller den minst en kondenseringspunkt och tillsammans med den en del av punkten . Men sedan denna grannskap, och därmed också , innehåller en oräknelig uppsättning punkter från , och sedan är en godtycklig rationell grannskap av punkten , det vill säga kondensationspunkten, det vill säga . Låt oss visa att den inte innehåller isolerade punkter. Låta vara en godtycklig punkt från och vara en godtycklig grannskap av punkten . Sedan innehåller det här området en oräknelig uppsättning punkter från . Tänk på en oräknelig uppsättning . Enligt sats 1 innehåller den en oräknelig uppsättning av dess kondensationspunkter. Varje kondenspunkt för är samtidigt en kondenspunkt för . Därför kommer en oräknelig uppsättning punkter från , och därmed inte är en isolerad punkt i denna uppsättning, in. $N$ $x\in N'$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $\delta$ $(x-\delta ,x+\delta )$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $(x-\delta ,x+\delta )$ $x_{{0}}$ $x_{{0}}$ $(r'_{x},r''_{x})$ $M$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $x$ $x\in N$ $N$ $x_{{0}}$ $N$ $(x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $x_{{0}}$ $M$ $M_{1}=M\cap (x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $M_{{1}}$ $M$ $(x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $N$ $x_{{0}}$

Anteckningar

↑ Shilov G.E. Matematisk analys. Specialkurs. - M. : Nauka, 1961. - S. 65. - 436 sid.

Litteratur

Sobolev VI Föreläsningar om ytterligare kapitel i matematisk analys. - M .: Nauka, 1968. - S. 79.