Spektral sekvens

I homologisk algebra och algebraisk topologi är en spektralsekvens ett sätt att beräkna homologigrupper genom successiva approximationer. Sedan deras introduktion av Jean Leray , har de blivit ett viktigt beräkningsverktyg, särskilt inom algebraisk topologi, algebraisk geometri och homologisk algebra.

Formell definition

Vi fixar en abelsk kategori såsom kategorin moduler över en ring . Den spektrala sekvensen består av ett valt icke-negativt heltal r 0 och en uppsättning av tre sekvenser:

För alla heltal r ≥ r 0 , objekt E r , kallade ark,
Endomorfismer d r : E r → E r som uppfyller d r o d r = 0, kallade gränsavbildningar eller differentialer,
Isomorfismer av Er +1 med H ( Er ), homologin för Er med avseende på dr .

Vanligtvis utelämnas isomorfismer mellan E r +1 och H ( E r ), och likheter skrivs istället.

Det enklaste exemplet är kedjekomplexet C • . Objektet C • från den Abeliska kategorin av kedjekomplex är utrustat med en differential d . Låt r 0 = 0 och E 0 vara C • . Då kommer E 1 att vara komplexet H ( C • ): den i -te medlemmen av detta komplex är den i : te homologigruppen C • . Den enda naturliga differentialen på detta nya komplex är nollmappen, så vi sätter d 1 = 0. Då kommer E 2 att vara samma som E 1 , och återigen är den enda naturliga differentialen nollmappen. Om vi antar att differentialen är noll för alla efterföljande ark, får vi en spektralsekvens vars termer har formen:

E 0 = C •
E r = H ( C • ) för alla r ≥ 1.

Termerna för denna spektrala sekvens stabiliseras från det första arket, eftersom den enda icke-triviala differentialen var på nollarket. Därför får vi ingen ny information i efterföljande steg. Vanligtvis, för att få användbar information från efterföljande blad, behöver du ha en extra struktur på E r .

I den ovan beskrivna ograderade situationen spelar r 0 ingen roll, men i praktiken förekommer de flesta spektrala sekvenser i kategorin dubbelgraderade moduler över en ring R (eller dubbelgraderade moduler över en bunt av ringar). I det här fallet är varje ark en dubbelgraderad modul och delas upp i en direkt summa av termer med en term för varje par grader. Gränsavbildningen definieras som den direkta summan av gränsmappningarna på varje bladelement. Deras examen beror på r och fastställs efter överenskommelse. I fallet med en homologisk spektralsekvens, betecknar termerna och differentialerna har bigrade (− r , r − 1). I fallet med en kohomologisk spektralsekvens betecknar termerna och differentialerna har bigrade ( r , 1 − r ). (Dessa val av grader uppstår naturligt i praktiken; se dubbelkomplexexemplet nedan.) Beroende på spektralsekvensen har gränskartan på det första arket en bigrad motsvarande r = 0, r = 1 eller r = 2. För till exempel för det spektralsekvensfiltrerade komplexet som beskrivs nedan, r 0 = 0, men för Grothendieck-spektralsekvensen r 0 = 2. ${\displaystyle E_{p,q}^{r))$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$

Låt E r vara en spektralsekvens som börjar till exempel med r = 0. Sedan finns det en sekvens av subobjekt

0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2 }\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{0},

sådan att ; Vi tror och definierar verkligen på ett sådant sätt som är kärnan och bilden ${\displaystyle E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1))$ $Z_{0}=E_{0},B_{0}=0$ ${\displaystyle Z_{r},B_{r))$ ${\displaystyle Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1))$ $E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.$

Då antar vi , då ${\displaystyle Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r))$

{\displaystyle E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty ))

;

kallas limitmedlem. (Detta kanske inte finns i kategorin, men detta är vanligtvis inte ett problem, eftersom till exempel i kategorin moduler sådana gränser finns, eller för att de spektralsekvenser som man arbetar med i praktiken oftast degenererar; i sekvensen ovan finns bara ett ändligt antal inneslutningar.) ${\displaystyle E_{\infty ))$

Visualisering

En dubbelgraderad spektralsekvens innehåller mycket data, men det finns en visualiseringsmetod som gör spektralsekvensens struktur mer begriplig. Vi har tre index, r , p och q . Låt oss föreställa oss att vi för varje r har ett pappersark. På det här arket, låt p öka i horisontell riktning och q i vertikal riktning. Vid varje punkt i gittret har vi ett objekt . ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$

Typiskt är n = p + q ett annat naturligt index i spektralsekvensen. n ökar diagonalt. I det homologiska fallet har differentialerna bidegree (− r , r − 1), så de minskar n med 1. I det kohomologiska fallet ökar n med 1. Om r är noll flyttar differentialen objekten ett steg upp eller ner . Det här är som en differential i ett kedjekomplex. Om r är ett, flyttar differentialen objekten ett steg åt vänster eller höger. Om r är lika med två, flyttar differentialen objekt på ett sätt som liknar en riddars drag i schack. För stora r fungerar differentialen som ett generaliserat riddardrag.

Spektralsekvenskonstruktioner

Spektralsekvens för det filtrerade komplexet

Många spektrala sekvenser kommer från filtrerade samkedjekomplex. Detta är ett samkedjekomplex C • med en uppsättning subkomplex F p C • , där p är ett godtyckligt heltal. (I praktiken är p vanligtvis avgränsat på en sida.) Gränsmappingen måste vara konsistent med denna filtrering; d ( FpCn ) ⊆ FpCn + 1 . _ _ _ _ Vi anser att filtreringen är avtagande, det vill säga F p C • ⊇ F p+1 C • . Vi kommer att numrera termerna för cochain-komplexet med indexet n . Senare kommer vi också att anta att filtreringen är Hausdorff eller separerbar, det vill säga skärningspunkten för alla F p C • är noll, och att filtreringen är uttömmande, det vill säga föreningen av alla F p C • är hela samkedjan komplex C • .

Filtrering är användbart eftersom det ger ett mått på närhet till noll: när p ökar, kommer F p C • närmare noll. Vi kommer att konstruera en spektralsekvens från denna filtrering där samgränserna och samcyklerna i efterföljande blad kommer närmare och närmare samgränserna och samcyklerna för det ursprungliga komplexet. Denna spektralsekvens kommer att graderas två gånger efter filtreringsgraden p och den komplementära graden {{{1}}} . (Den komplementära styrkan är ofta ett bekvämare index än n . Detta är till exempel fallet för den binära komplexa spektralsekvensen som beskrivs nedan.)

Vi kommer att konstruera denna spektralsekvens manuellt. C • har bara en gradering och filtrering, så vi konstruerar först ett dubbelgraderat objekt från C • . För att få den andra graderingen går vi vidare till det associerade graderade objektet med avseende på filtrering. Vi kommer att beteckna det på ett ovanligt sätt, vilket kommer att motiveras i steg E 1 :

{\displaystyle Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q))

B_{0}^{p,q}=0

E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+ 1 ,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}

{\displaystyle E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q))

Eftersom vi antog att gränsavbildningen överensstämmer med filtreringen är E 0 ett dubbelgraderat objekt och det finns en naturlig dubbelgraderad gränsmappning d 0 på E 0 . För att få E 1 tar vi homologin för E 0 .

{\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0} ^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\ högerpil F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}

{\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q -1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1} /F^{p+1}C^{p+q-1}\högerpil F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}

{\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac ({\bar {Z}}_{1}^{p,q}}({\bar {B}}_{1}^{ p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{ {\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q))))

E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{ \frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}

Observera att och kan beskrivas som bilder i ${\bar {Z}}_{1}^{p,q}$ ${\bar {B}}_{1}^{p,q}$ ${\displaystyle E_{0}^{p,q))$

Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\högerpil C^{p+q+1} /F^{p+1}C^{p+q+1}

B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\ högerpil C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}

och vad har vi

E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1 ,q-1}}}.

${\displaystyle Z_{1}^{p,q))$ är exakt vad differentialen flyttar en nivå upp i filtreringen, och är exakt bilden av vad differentialen flyttar noll nivåer uppåt i filtreringen. Detta tyder på att vi bör definiera som vad differentialen flyttar r nivåer upp filtreringen och som bilden av vad differentialen flyttar r-1 nivåer upp filtreringen. Med andra ord måste spektralsekvensen uppfylla ${\displaystyle B_{1}^{p,q))$ ${\displaystyle Z_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle B_{r}^{p,q))$

Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\högerpil C^{p+q+1} /F^{p+r}C^{p+q+1}

B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1} C^{p+q-1}\högerpil C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}

E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p +1,q-1}}}

och vi måste ha förhållandet

B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).

För att detta ska vara vettigt måste vi hitta differentialen d r på varje E r och kontrollera att dess homologi är isomorf med E r+1 . Differentiell

d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}

definieras som begränsningen av den ursprungliga differentialen dc till subobjektet . $C^{p+q}$ ${\displaystyle Z_{r}^{p,q))$

Det är lätt att kontrollera att homologin för E r med avseende på denna differential är E r+1 , så vi får en spektralsekvens. Tyvärr beskrivs skillnaden inte särskilt tydligt. Att hitta differentialer, eller sätt att klara sig utan dem, är ett av huvudproblemen som står i vägen för framgångsrik tillämpning av spektralsekvensen.

Spektralsekvens av dubbelkomplexet

En annan frekvent spektralsekvens är spektralsekvensen för dubbelkomplexet. Ett dubbelkomplex är en uppsättning objekt C i, j för alla heltal i och j , tillsammans med två differentialer, d I och d II . Enligt konventionen minskar d I i och d II minskar j . Dessutom antar vi att dessa två differentialer antipendlar, så att d I d II + d II d I = 0. Vårt mål är att jämföra de itererade homologierna och . Det gör vi genom att filtrera vårt dubbla komplex på två sätt. Här är våra filter: $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$

(C_{i,j}^{I})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{ if }}i\geq p\end{cases}}

(C_{i,j}^{II})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{ if }}j\geq p\end{cases}}

För att få spektralsekvensen reducerar vi situationen till föregående exempel. Vi definierar ett totalt komplex T ( C •,• ) som ett komplex vars n:e term är denna och vars differential är d I + d II . Detta är ett komplex, eftersom d I och d II är antipendlingsskillnader. Två filtreringar på C i, j inducerar två filtreringar på det totala komplexet: ${\displaystyle \bigoplus _{i+j=n}C_{i,j))$

{\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j))

{\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{II}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j))

För att visa att dessa spektralsekvenser ger information om itererad homologi, beskriver vi termerna E 0 , E 1 och E 2 för filtreringen I på T ( C •,• ). E 0 - medlemmen är enkel:

{}^{I}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{ \bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{ i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},

där n = p + q .

För att hitta termen E 1 måste vi beskriva d I + d II på E 0 . Observera att differentialen måste ha grad −1 med avseende på n , så vi får avbildningen

d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{ n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q}\högerpil T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet})_{p }^{I}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q-1}

Därför är differentialen på E 0 kartan C p , q → C p , q −1 , inducerad av d I + d II . Men d I har fel grad för att inducera en sådan mappning, så d I måste vara noll på E 0 . Detta betyder att differentialen är exakt d II , så vi får

{}^{I}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{II}(C_{p,\bullet }).

För att hitta E 2 måste vi definiera

d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:H_{q}^{II}(C_{p,\bullet})\högerpil H_{q}^{ II}(C_{p+1,\bullet })

Eftersom E 1 är exakt homologin med avseende på d II är d II noll på E 1 . Därav får vi

{}^{I}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet })).

Med en annan filtrering får vi en spektralsekvens med en liknande term E 2 :

{}^{II}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).

Det återstår att hitta ett samband mellan dessa spektralsekvenser. Det visar sig att när r ökar blir de två sekvenserna lika tillräckligt för att göra användbara jämförelser.

Konvergens och degeneration

I det elementära exemplet vi började med var bladen i spektralsekvensen konstanta från r =1. I denna situation är det vettigt att ta gränsen för en sekvens av ark: eftersom ingenting händer efter nollbladet, är gränsbladet för E ∞ detsamma som E 1 .

I mer allmänna situationer finns limit sheets ofta och är alltid intressanta. De är en av de viktigaste aspekterna av spektralsekvenser. Vi säger att en spektralsekvens konvergerar till om det finns r ( p , q ) så att för alla r ≥ r ( p , q ) är skillnaderna och noll. Av detta följer att den kommer att vara isomorf för stora r . Detta betecknas enligt följande: ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$ $d_{r}^{pr,q+r-1}$ ${\displaystyle d_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$

{\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q))

Här betecknar p filtreringsindexet. Termen skrivs ofta på vänster sida av konvergensen eftersom det är den mest användbara termen i många spektralsekvenser. ${\displaystyle E_{2}^{p,q))$

I de flesta spektralsekvenser är termen inte naturligt dubbelgraderad. Istället finns det vanligtvis medlemmar med naturlig filtrering . I dessa fall antar vi . Vi definierar konvergens på samma sätt som tidigare, men vi skriver ${\displaystyle E_{\infty ))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{n))$ ${\displaystyle F^{\bullet }E_{\infty }^{n))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}E_{\infty }^{p+q}=F^{p}E_{\infty }^{ p+q}/F^{p+1}E_{\infty }^{p+q))$

{\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n))

vilket betyder att när p + q = n , konvergerar till . ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$

Det enklaste fallet där vi kan fastställa konvergens är när spektralsekvensen degenererar. Vi säger att en spektralsekvens degenererar i det r:te bladet om för något s ≥ r differentialen d s är noll. Detta innebär att E r ≅ E r +1 ≅ E r +2 ≅ … I synnerhet följer det att E r är isomorft till E ∞ . Detta är vad som hände i det första triviala exemplet på ett ofiltrerat kedjekomplex: spektralsekvensen degenererade i det första bladet. I allmänhet, om en dubbelgraderad spektralsekvens är noll utanför ett horisontellt eller vertikalt band, degenererar spektralsekvensen, eftersom senare differentialer alltid kommer in eller kommer från ett objekt utanför bandet.

En spektralsekvens konvergerar också om den försvinner för alla p mindre än någon p 0 och för alla q mindre än någon q 0 . Om p 0 och q 0 kan väljas att vara noll, kallas detta en första kvadrant spektralsekvens . Denna sekvens konvergerar eftersom varje objekt är på ett fast avstånd från gränsen för området som inte är noll. Därför, för fast p och q , mappas differentialen på senare ark alltid till eller från nollobjektet. På liknande sätt konvergerar en spektralsekvens också om den försvinner för alla p större än vissa p 0 och för alla q större än vissa q 0 . ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q))$

Litteratur

A.T. Fomenko, D.B. Fuks. Homotopi topologi kurs. - M. : Nauka, 1989. - 528 sid.
Hatcher, Allen, Spektralsekvenser i algebraisk topologi