Monoidal kategori

En monoidal kategori (eller tensorkategori ) är en kategori C utrustad med en bifunctor

⊗ : C × C → C ,

som är associativ upp till en naturlig isomorfism , och även objektet I , som är identiteten för ⊗ även upp till en naturlig isomorfism. Vissa ytterligare villkor ställs också på naturliga isomorfismer. I den monoidala kategorin kan man ge en definition av en monoid som generaliserar egenskaperna hos en monoid från allmän algebra. I själva verket är vanliga monoider monoider i kategorin uppsättningar med en direkt produkt som en monoidal produkt.

Den vanliga tensorprodukten gör vektorrum , abelska grupper och moduler till monoida kategorier, godtyckliga monoida kategorier kan ses som en generalisering av dessa exempel.

Definition

Formellt är en monoidal kategori en kategori utrustad med: $\mathbf {C}$

en bifunktor , kallad en tensorprodukt eller en monoidal produkt , $\otimes \colon {\mathbf C}\times {\mathbf C}\to {\mathbf C}$
ett objekt som kallas en enhet eller identiskt objekt , $jag$
tre naturliga isomorfismer som uttrycker det faktum att tensorproduktens funktion
- associativ: det finns en naturlig isomorfism (den så kallade associatorn ) , , $\alfa$ $\alpha _{{A,B,C}}\colon (A\otimes B)\otimes C\to A\otimes (B\otimes C)$
- $jag$ är enheten: det finns två naturliga isomorfismer och , och . $\lambda$ $\rho$ $\lambda _{A}\colon I\otimes A\to A$ $\rho _{A}\colon A\otimes I\to A$

Ytterligare villkor ställs på dessa naturliga isomorfismer:

för alla , , , i följande femkantiga diagram är kommutativ : $A$ $B$ $C$ $D$ $\mathbf {C}$

för alla och det triangulära diagrammet är kommutativt: $A$ $B$

Det följer av dessa villkor att varje diagram av denna typ (det vill säga ett diagram vars pilar är sammansatta av , , , enhet och tensorprodukten) är kommutativt: detta är ämnet för MacLanes koherenssats . Till exempel, genom flera tillämpningar av associatorn är det lätt att visa att och är isomorfa. Associatorer kan tillämpas i olika ordningsföljder (till exempel visar diagrammet två sätt för N = 4), men koherenssatsen antyder att olika sekvenser av tillämpningar definierar samma mappning. $\alfa$ $\lambda$ $\rho$ $(A_{N}\ibland A_{{N-1}})\otillfällen \cdots )\ibland A_{2})\ibland A_{1})$ $(A_{N}\otimes (A_{{N-1}}\otimes \cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})$

En strikt monoidal kategori är en kategori för vilken de naturliga isomorfismerna α , λ , ρ är identiska.

Exempel

Varje kategori med ändliga produkter är monoidal, med den kategoriska produkten som den monoida produkten och slutobjektet som enheten. En sådan kategori kallas ibland en kartesisk monoidal kategori . Till exempel:
- ${\mathbf {Set}}$ — Kategorin av uppsättningar med en kartesisk produkt och en enelementsuppsättning som en enhet.
Varje kategori med ändliga biprodukter är också monoidala, med biprodukten och det initiala objektet som enhet.
R -Mod , kategorin av moduler överen kommutativ ring R , är monoidal med tensorprodukten⊗ R och ringen R (förstått som en modul över sig själv) som identitet.
Kategorin endofunktorer (funktioner i sig själva) i kategori C är en strikt monoidal kategori med funktionssammansättning som produktdrift.

Se även

Anteckningar

Kelly, G. Max (1964). "Om MacLanes villkor för koherens av naturliga associativiteter, kommutativiteter, etc." —Tidskrift för Algebra 1 , 397-402
Kelly, G. Max. Grundläggande begrepp för berikad kategoriteori . - Cambridge University Press , 1982. - (London Mathematical Society Lecture Note Series No. 64).
Mac Lane, Saunders (1963). "Naturlig associativitet och kommutativitet". —Rice University Studies 49 , 28-46.
McLane S. Kapitel 7. Monoider // Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .