Subfaktoriell

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 juni 2016; kontroller kräver 16 redigeringar .

Underfaktorn för ett tal n (notation: !n ) definieras som antalet permutationer av ordningen n , det vill säga permutationer av ordningen n utan fixpunkter . Namnet subfaktoriell kommer från en analogi med factorial , som bestämmer det totala antalet permutationer.

I synnerhet är !n antalet sätt att lägga n bokstäver i n kuvert (ett vardera) så att ingen av dem hamnar i motsvarande kuvert (det så kallade "Brevproblemet").

Explicit formel

Underfaktorn kan beräknas med hjälp av inkluderings-exkluderingsprincipen :

!n=n!\left(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...+ (-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right)=n!\summa _{{k=0}}^{n}{\frac {(-1)^{k }}{k!}}

Andra formler

$!n={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e))$ , där betecknar en ofullständig gammafunktion , och e är en matematisk konstant; $\Gamma$
$!n=\vänster\lgolv {\frac {n!}{e}}\höger\rceil$ , där anger det närmaste heltal till x . $\vänster\lgolv x\höger\rtak$
$!n=\vänster\lgolv {\frac {n!+1}{e}}\höger\rgolv$ (enligt Mehdi Hassani ), där betecknar heltalsdelen av ett tal. $\lgolv x\rgolv$
De formella identiteterna är giltiga: och , där det är nödvändigt att förstå som , och - som . $Q^{n}=(P-1)^{n}$ $P^{n}=(Q+1)^{n}$ $P^{k}$ $k!$ $Q^{k}$ $!k$

Värdetabell

n	! n [1]
ett	0
2	ett
3	2
fyra	9
5	44
6	265
7	1854
åtta	14 833
9	133 496
tio	1 334 961
elva	14 684 570
12	176 214 841
13	2 290 792 932
fjorton	32 071 101 049
femton	481 066 515 734
16	7 697 064 251 745
17	130 850 092 279 664
arton	2 355 301 661 033 953
19	44 750 731 559 645 100
tjugo	895 014 631 192 902 100

Egenskaper

${\displaystyle !n={!(n-1)}\cdot n+(-1)^{n))$
$!n=(n-1)\cdot ({!(n-1)}+{!(n-2)})$ ( faktorial själv har samma egenskap )
$!n=(n-1)\cdot a_{{n-2}},$

var och . Inledande medlemmar av sekvensen [2] :

\;a_{0}=a_{1}=1

{\displaystyle a_{n}=n\cdot a_{n-1}+(n-1)\cdot a_{n-2}={!(n+1)}+{!n))

en

1, 1 , 3 , 11 , 53 , 309, 2119, …

Numret 148349 är en underfaktor , dvs. är lika med summan av underfaktorerna i dess siffror (analogt med faktorion ):

148349={!1}+{!4}+{!8}+{!3}+{!4}+{!9}

(hittad av JS Madachy, 1979)

Subfaktoriellt tillåts ibland i matematiska spel som att få olika resultat från vissa siffror (till exempel är spelet Four Fours känt , där jämställdheten! 4 \u003d 9 kan vara användbar).

Anteckningar

↑ OEIS -sekvens A000166 = Subfaktoriella eller renkontrerande tal, eller avvikelser: antal permutationer av n element utan fixpunkter
↑ OEIS -sekvens A000255 = a (n) räknar permutationer av [1,...,n+1] utan delsträng [k,k+1]